¿Cuál es la definición correcta del invariante de Jarlskog?

¡No no no! Absolutamente ninguna suma en (1) .

(1) es lo mismo que (2), o más bien, las 9 formas equivalentes de escribir (1) incluyen (2) también. Solo anclaré esto al texto de M Schwartz (29.91-2) para el sector de quarks combinatoriamente idéntico , en el que sé que ha basado esencialmente esta pregunta, antes .

Los índices griegos denotan sabor y los latinos estados propios de masa, entonces, entonces e~1, μ~2, τ~3. También ajustaré un poco tu (1) para que se adapte al ciclo de Schwartz. Nuevamente, ¡no sume sobre índices repetidos!

Definir el 4-tensor

$$(\alpha,\beta;i,j)\equiv \text{Im}(U_{\alpha i} U_{\beta j} U^*_{\alpha j} U_{\beta i}^{*})~,$$ por lo que es evidente por inspección que $$(\beta,\alpha;i,j)=-(\alpha,\beta;i,j)=(\alpha,\beta;j,i).$$ Luego ve que, salvo la antisimetría, solo hay 3 × 3 componentes que no desaparecen, que, notablemente, a partir de la unitaridad de U , se puede demostrar que son todos idénticos en magnitud , a saber, $$(\alpha,\beta;i,j)= J ~ \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}_{\alpha \beta} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}_{ij},$$ tal que, $$J=(e,\mu;2,3)=(e,\mu;1,2)=(e,\mu;3,1)=(\mu,\tau;2,3)=(\mu,\tau;1,2)=(\mu,\tau;3,1)\\ =(\tau,e;2,3)=(\tau,e;3,1)=(\tau,e;1,2).$$

• unitaridad,$\sum_i U_{\alpha i}U^*_{\beta i}=\delta ^{\alpha \beta}$, ingresa y controla imponiendo que todas las filas y columnas de la matriz escrita anterior sumen cero, por lo que en lugar de 3 parámetros independientes solo hay uno, y lo mismo para la matriz de la izquierda en el producto tensorial: ambos deben ser necesariamente del tipo$\sum_k \epsilon^{ijk}$.