¿Cuál es el significado físico de la circulación que se encuentra en la condición de Kutta?

El teorema de Kutta-Joukowski es aplicable para el cálculo de elevación 2D tan pronto como se verifique la condición de Kutta . Cuando este es el caso, hay una circulación Γ alrededor del perfil aerodinámico . Mi pregunta está relacionada con esta circulación:

  • ¿Cuál es el significado físico de la circulación? Γ , a menudo representado así ( ejemplo 1 , ejemplo 2 , ejemplo 3 ): (Trabajo propio)

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Estoy interesado en una explicación simple de la circulación (¿el aire se mueve alrededor del perfil aerodinámico? para tontos) y cómo se relaciona esta circulación con una vista del flujo de aire en un túnel de viento, donde aparentemente no hay aire que fluya en el sentido de las agujas del reloj alrededor del perfil aerodinámico. :

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Fuente: Youtube

El resto de esta publicación es una presentación de la teoría de la circulación que motiva mi pregunta, y tal como la entiendo, pero no es parte de la pregunta.

La condición de Kutta está vinculada a los puntos de estancamiento, los puntos donde los tubos de aire se separan para fluir en un lado determinado del perfil aerodinámico y donde se unen nuevamente detrás del perfil aerodinámico. La condición de Kutta estipula que el último punto coincide con el borde de salida del perfil aerodinámico:

Wikipedia : Un cuerpo con un borde de fuga afilado que se mueve a través de un fluido creará a su alrededor una circulación de fuerza suficiente para mantener el punto de estancamiento trasero en el borde de fuga.

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(Propio trabajo)

Según la teoría, cuando el perfil aerodinámico se mueve a través del aire, la circulación mueve el punto de estancamiento trasero hacia el borde de fuga y luego lo mantiene en esta posición. Cuando está en esta posición, la circulación es finita y se puede utilizar para calcular la sustentación con el teorema de Kutta-Joukowski :

Wikipedia : El teorema relaciona la sustentación generada por una superficie aerodinámica con la velocidad de la superficie aerodinámica a través del fluido, la densidad del fluido y la circulación alrededor de la superficie aerodinámica. [...] El ascensor por unidad de vano L ′ del perfil aerodinámico está dada por:

L ′ = − ρ ∞ V ∞ Γ

dónde ρ ∞ y V ∞ son la densidad del fluido y la velocidad del fluido aguas arriba del perfil aerodinámico, y y Γ es la circulación definida como la integral de línea

Γ = ∮ C V ⋅ d s

alrededor de un contorno cerrado C encerrando el perfil aerodinámico y seguido en la dirección positiva (en sentido contrario a las agujas del reloj).

Ese video muestra un perfil aerodinámico arrojando vórtices, pero eso tiene poco que ver con la pregunta principal, que puede formularse de la siguiente manera: ¿una mota de polvo atrapada en medio de esa 'circulación' realmente gira alrededor del ala...? ¿O es la circulación de Kutta-Joukowski solo una construcción matemática útil...?

Respuestas (3)

La circulación de un fluido alrededor de un objeto por sí sola no producirá sustentación. El ejemplo clásico de esto es el cilindro giratorio sin otro flujo de aire. La viscosidad hará que el fluido cerca de un cilindro que gira en el sentido de las agujas del reloj circule en el sentido de las agujas del reloj alrededor del cilindro. Si se introduce un flujo horizontal de izquierda a derecha, habrá una suma vectorial de los dos flujos. Esto da como resultado los puntos de estancamiento cerca de las 8 en punto y las 4 en punto (a diferencia del cilindro sin rotación en el flujo de izquierda a derecha que tiene los puntos de estancamiento en las 9 y las 3 en punto). El resultado neto de esto es el efecto Magnus donde se genera sustentación en la dirección de las 12 en punto.

En su primer diagrama (flujo no viscoso típico) no hay circulación. La forma del perfil aerodinámico en flujo viscoso hace que el punto de estancamiento posterior se desplace hacia el borde posterior (segunda imagen: la condición de Kutta). Esto tiene el mismo efecto en el flujo de aire que el giro del cilindro, ya que crea una circulación en el sentido de las agujas del reloj alrededor del perfil aerodinámico.

La integral de línea describe, para un contorno cerrado arbitrario alrededor del objeto, el producto escalar del vector de velocidad de flujo del fluido con la trayectoria del vector moviéndose alrededor del contorno. El contorno más sencillo de analizar se crea siguiendo las líneas de flujo por encima y por debajo del perfil aerodinámico y conectándolas antes y después del perfil aerodinámico con líneas perpendiculares a las líneas de corriente.

Dado que el producto escalar de los vectores perpendiculares es 0, la integral a lo largo de las porciones perpendiculares del contorno es 0. El producto escalar de los vectores paralelos es solo la multiplicación de los valores escalares, y dado que la dirección del contorno se invierte entre el superior y el inferior racionalizar el efecto es sumar uno y restar el otro. Debido a las diferencias en longitudes y las diferentes velocidades de flujo (Bernoulli...) a lo largo del contorno, la integral es distinta de cero. Este número representa la circulación efectiva neta sobre el perfil aerodinámico (flujo total menos el flujo horizontal).

Lo interesante es que si extiende el contorno detrás de la superficie aerodinámica lo suficiente como para encerrar la estela de la superficie aerodinámica desde el comienzo del movimiento, la circulación será cero ya que la circulación de la estela total es el vector opuesto a la circulación alrededor de la superficie aerodinámica.

No hay ninguna molécula en el aire que realmente gire alrededor de la superficie aerodinámica de la forma en que normalmente se piensa. La circulación es un concepto matemático que se utiliza para explicar el movimiento del aire desde un marco de referencia unido al ala. Es útil para comprender el movimiento relativo por encima y por debajo del ala.

Una situación similar podría ser una persona que camina hacia la parte trasera de un tren. La persona puede caminar a 2 mph y el tren corre a 80 mph, entonces, ¿la persona va hacia adelante o hacia atrás? La respuesta depende de tu marco de referencia: hacia atrás si estás en el tren, hacia adelante si estás de pie junto a las vías. Ni siquiera preguntes sobre la dirección desde el espacio).

La forma más sencilla de pensar en ello es que el flujo de aire por encima del ala se mueve más rápido que por debajo del ala, lo que le da sustentación al ala. La causa es irrelevante. A modo de ilustración, suponga que un avión Mach .8 tiene un flujo de aire Mach .88 sobre su ala y Mach .72 debajo. Todas las moléculas se mueven hacia el borde de fuga. Si desea comparar estos dos flujos, es útil restar la velocidad de avance de la aeronave de 0,8 dejando mach +0,08 por encima del ala y -0,08 por debajo, lo que define la circulación. La velocidad negativa (hacia adelante) debajo del ala solo existe matemáticamente.

Interesante analogía con el tren, pero aún no tengo claro este concepto de circulación. Porque desde la posición relativa de un observador en el ala, las moléculas de aire todavía se mueven desde el borde de ataque al borde de salida. ¿Pueden ayudarme a entender mejor lo que esto significa?
@MichaelHall La forma más sencilla de pensarlo es que el flujo de aire sobre el ala se mueve más rápido que debajo del ala, lo que le da al ala su sustentación. La causa es irrelevante. A modo de ilustración, suponga que un avión Mach .8 tiene un flujo de aire Mach .88 sobre su ala y Mach .72 debajo. Todas las moléculas se mueven hacia el borde posterior como supones. Si desea comparar estos dos flujos, es útil restar la velocidad de avance de la aeronave de 0,8 dejando mach +0,08 por encima del ala y -0,08 por debajo, lo que define la circulación. La velocidad negativa (hacia adelante) debajo del ala solo existe matemáticamente.
¡Gracias!
El hecho de que haya circulación neta no significa que el fluido esté girando alrededor del perfil aerodinámico. Esa no es la definición es circulación.

Me gusta mucho la respuesta de @ Gerry. Ilustra muy bien el principio de sustentación a través de la teoría del potencial.

Me gustaría agregar que la circulación no significa que las partículas de fluido estén girando alrededor del perfil aerodinámico. De hecho, incluso un simple cilindro giratorio en un flujo no viscoso/irrotacional tendría líneas de corriente bien definidas que fluyen desde aguas arriba hacia aguas abajo.

Más bien, la definición integral de circulación en el OP se define en un contorno cerrado alrededor del campo vectorial de velocidad , no en una trayectoria de cualquier partícula fluida. Intuitivamente, entonces, la circulación ilustra cuánto ha girado un flujo uniforme.

de wolframio

Líneas aerodinámicas del cilindro giratorio

Mi entendimiento hasta ahora: la circulación es una circulación matemática de un campo de vectores alrededor de un contorno (nada físico). Podemos usar una transformación holomorfa de this para obtener this . Mover el punto de estancamiento trasero al punto de fuga inicia la corriente descendente y crea un vórtice transitorio opuesto real/físico detrás, que luego desaparece ( más ). Pero eso no está tan claro, es por eso que aún no se ha seleccionado ninguna respuesta.
@mins ¿Tiene alguna referencia sobre quién dijo que estos dos son holomorfos? El primero es un cilindro sin elevación. Como explicó Gerry, la circulación alrededor del cilindro es cero. El segundo tiene una circulación distinta de cero si encierra el perfil aerodinámico con cualquier curva cerrada. Los puntos de estancamiento no son la causa de la circulación. Si explica lo que no está claro, tal vez podamos ajustar nuestras respuestas.
He encontrado varias menciones de mapeo conforme (por ejemplo, en la NASA ), que según esto (final de la segunda página) es una función holomorfa.
@mins Sí, puede transformar la circulación de un perfil aerodinámico en la de un cilindro giratorio . Pero la primera imagen en su comentario anterior era un cilindro no giratorio . Entonces no hay mapeo entre los dos. La condición de Kutta dicta dónde debe estar el punto de estancamiento en la superficie aerodinámica, pero en sí misma no da lugar a sustentación. La circulación sí.
Ok, obtuve esta imagen de una página (desafortunadamente en francés), donde el cilindro no giraba, pero aún se mencionaba una transformación holomorfa.
@mins Cuando decimos transformación holomorfa, estamos hablando de una transformación de coordenadas. Puede torcer el cilindro en cualquier forma aerodinámica, sin ningún concepto de dinámica de fluidos. A continuación, como se mencionó en su segundo artículo, las singularidades (es decir, fuente, sumidero, vórtice) en las coordenadas originales siguen siendo singularidades en las coordenadas retorcidas. Las líneas aerodinámicas a las que se refiere en el artículo francés son las de los dobletes. Apuesto a que cuando calculas la circulación, es cero. Si sigue leyendo, comienza a hablar sobre la circulación y el flujo de vórtice.
@mins ¿Puede modificar su OP para incluir cualquier otra confusión que tenga que no haya sido respondida en el estado actual?
¿Cuál es el significado físico de la circulación que se encuentra en la condición de Kutta?
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