¿Cuál es el campo EM dentro de una esfera magnetizada giratoria?

Question

¿Cuál es el campo EM dentro de una esfera magnetizada giratoria?

Física
rotación
momento magnético
electromagnetismo
inducción electromagnética
radiación electromagnética

Cham

Estoy buscando las expresiones analíticas de los campos magnéticos y eléctricos inducidos dentro de una esfera rotatoria magnetizada uniformemente.

Si la esfera no gira, el campo eléctrico es 0 en todas partes y el campo magnético se puede expresar como una función del momento magnético global de la esfera:

\begin{aligned} (1) & {\vec{B}}_{En t} & = \frac{m_{0} \vec{m}}{2 π R^{3}}, \\ (2) & {\vec{mi}}_{En t} & = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \vec{B}_{\text{int}} &= \frac{\mu_0 \, \vec{\mu}}{2 \pi R^3}, \tag{1} \\[12pt] \vec{E}_{\text{int}} &= 0. \tag{2} \end{align}$ Luego considere la misma esfera girando uniformemente alrededor del

z

$z$ eje. El momento magnético

\vec{μ} (t)

$\vec{\mu}(t)$ tiene una inclinación

α

$\alpha$ en relación con el eje de rotación y está girando alrededor de ese eje:

\begin{matrix} (3) & \vec{m} (t) = m pecado α (porque (ω t) \hat{X} + pecado (ω t) \hat{y}) + m porque α \hat{z} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{3} \vec{\mu}(t) = \mu \, \sin{\alpha} \, \big(\cos{(\omega \, t)} \, \hat{x} + \sin{(\omega \, t)} \, \hat{y} \big) + \mu \, \cos{\alpha} \, \hat{z}. \end{equation}$ Tenga en cuenta que la esfera es neutra (la densidad de carga eléctrica es 0 en todas partes). Las corrientes en la superficie se pueden describir mediante este vector de densidad:

\begin{matrix} (4) & \vec{j} (t, \vec{r}) = \frac{3}{4 π R^{4}} \vec{m} (t) \times \vec{r} d (r - R), \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{4} \vec{J}(t, \vec{r}) = \frac{3}{4 \pi R^4} \, \vec{\mu}(t) \times \vec{r} \; \delta(r - R), \end{equation}$ tal que

\begin{matrix} (5) & \vec{m} (t) \equiv \frac{1}{2} \int \vec{r} \times \vec{j} (t, \vec{r}) d^{3} X . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{5} \vec{\mu}(t) \equiv \frac{1}{2} \int \vec{r} \times \vec{J}(t, \vec{r}) \, d^3 x. \end{equation}$ Entonces, ¿qué son los vectores?

\vec{E} (t, \vec{r})

$\vec{E}(t,\vec{r})$ y

\vec{B} (t, \vec{r})

$\vec{B}(t,\vec{r})$ ?

Por favor, no dé ninguna respuesta en términos de campos "macroscópicos". $\vec{D}$ y $\vec{H}$ . Y solo me interesan los campos dentro de la esfera (conozco la solución para el exterior, si la esfera es muy pequeña). Espero que, como la mayoría de los campos de radiación, el campo electromagnético dentro de la esfera dependa de algún tiempo retardado , algo así como $t - r / c$ .

lukas bernes

¿Tal vez pueda hacer uso de las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo , para calcular primero el campo eléctrico sin rotación y luego cambiar el sistema de coordenadas al rotado?

Respuestas (1)

¿Cuál es el campo EM dentro de una esfera magnetizada giratoria?

¿Tal vez pueda hacer uso de las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo , para calcular primero el campo eléctrico sin rotación y luego cambiar el sistema de coordenadas al rotado?

Cham · Answer 1

Por fuerza bruta, puede que haya encontrado la solución, pero no estoy seguro de que sea la correcta. Hay algunas piezas que son desconcertantes. Los puntos a continuación son las derivadas del tiempo, y el momento magnético debe evaluarse en el tiempo retardado : $\vec{\boldsymbol{\mu}} \equiv \vec{\boldsymbol{\mu}}(t - r / c)$

\begin{aligned} (1) & \vec{B} (t, \vec{r}) & = \frac{m_{0}}{4 π R^{3}} (2 \vec{m} + 2 \frac{r}{C} \dot{\vec{m}} + \frac{1}{C^{2}} (\ddot{\vec{m}} \times \vec{r}) \times \vec{r}), \\ (2) & \vec{mi} (t, \vec{r}) & = - \frac{1}{4 π ε_{0} R^{3}} (\frac{1}{C^{2}} \dot{\vec{m}} \times \vec{r} + \frac{r}{C^{3}} \ddot{\vec{m}} \times \vec{r}) . \end{aligned}

$\begin{align} \vec{\boldsymbol{B}}(t, \vec{\boldsymbol{r}}) &= \frac{\mu_0}{4 \pi R^3} \Big( 2 \, \vec{\boldsymbol{\mu}} + 2 \, \frac{r}{c} \, \dot{\vec{\boldsymbol{\mu}}} + \frac{1}{c^2} \, (\ddot{\vec{\boldsymbol{\mu}}} \times \vec{\boldsymbol{r}}) \times \vec{\boldsymbol{r}} \Big), \tag{1} \\[12pt] \vec{\boldsymbol{E}}(t, \vec{\boldsymbol{r}}) &= -\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 R^3} \Big( \frac{1}{c^2} \, \dot{\vec{\boldsymbol{\mu}}} \times \vec{\boldsymbol{r}} + \frac{r}{c^3} \, \ddot{\vec{\boldsymbol{\mu}}} \times \vec{\boldsymbol{r}} \Big). \tag{2} \end{align}$ Estas expresiones se reducen a la solución constante (1) y (2) de mi pregunta, cuando el momento magnético es constante. Algunos cálculos tediosos muestran que las ecuaciones de Maxwell se satisfacen con estos vectores, si introducimos una densidad de corriente en la mayor parte de la esfera (no pude encontrar una solución sin una corriente dentro del volumen):

\begin{aligned} (3) & \vec{\nabla} \cdot \vec{B} & = 0, \\ (4) & \vec{\nabla} \cdot \vec{mi} & = 0, \\ (5) & \vec{\nabla} \times \vec{mi} & = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \\ (6) & \vec{\nabla} \times \vec{B} & = m_{0} \vec{j} + \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial \vec{mi}}{\partial t}, \end{aligned}

$\begin{align} \vec{\boldsymbol{\nabla}} \cdot \vec{\boldsymbol{B}} &= 0, \tag{3} \\[12pt] \vec{\boldsymbol{\nabla}} \cdot \vec{\boldsymbol{E}} &= 0, \tag{4} \\[12pt] \vec{\boldsymbol{\nabla}} \times \vec{\boldsymbol{E}} &= -\, \frac{\partial \, \vec{\boldsymbol{B}}}{\partial \, t}, \tag{5} \\[12pt] \vec{\boldsymbol{\nabla}} \times \vec{\boldsymbol{B}} &= \mu_0 \, \vec{\boldsymbol{J}} + \frac{1}{c^2} \, \frac{\partial \, \vec{\boldsymbol{E}}}{\partial \, t}, \tag{6} \end{align}$ dónde

\begin{matrix} (7) & \vec{j} (t, \vec{r}) = \frac{3}{2 π R^{3} C^{2}} \ddot{\vec{m}} \times \vec{r} \equiv \vec{\nabla} \times \vec{k} (t, \vec{r}), \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{7} \vec{\boldsymbol{J}}(t, \vec{\boldsymbol{r}}) = \frac{3}{2 \pi R^3 \, c^2} \, \ddot{\vec{\boldsymbol{\mu}}} \times \vec{\boldsymbol{r}} \equiv \vec{\boldsymbol{\nabla}} \times \vec{\boldsymbol{K}}(t, \vec{\boldsymbol{r}}), \end{equation}$ y

\begin{matrix} (8) & \vec{k} (t, \vec{r}) = \frac{3}{2 π R^{3}} (\vec{m} + \frac{r}{C} \dot{\vec{m}}) . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{8} \vec{\boldsymbol{K}}(t, \vec{\boldsymbol{r}}) = \frac{3}{2 \pi R^3} \Big( \, \vec{\boldsymbol{\mu}} + \frac{r}{c} \, \dot{\vec{\boldsymbol{\mu}}} \, \Big). \end{equation}$ Estoy desconcertado por la densidad de corriente (7) y el vector (8) que puede interpretarse como una densidad de magnetización, pero falta un factor de 2 en el denominador. Incluso cuando

\dot{\vec{μ}} = 0

$\dot{\vec{\boldsymbol{\mu}}} = 0$ , no es exactamente la magnetización a granel, lo que debería ser

\vec{M} = 3 \vec{μ} / 4 π R^{3}

$\vec{\boldsymbol{M}} = 3 \, \vec{\boldsymbol{\mu}} / 4 \pi R^3$ . Sin embargo cuando

\vec{μ}

$\vec{\boldsymbol{\mu}}$ es una constante, también lo es

\vec{K}

$\vec{\boldsymbol{K}}$ y

\vec{J} = 0

$\vec{\boldsymbol{J}} = 0$ (a granel), como debería ser para una esfera magnetizada uniformemente con un campo magnético constante y uniforme (vector (1) de la pregunta anterior).

Tenga en cuenta que esta solución no especifica la forma de la función $\vec{\boldsymbol{\mu}}(t - r / c)$ que sigue siendo arbitrario (no necesariamente una rotación alrededor de un eje fijo). Puede ser una esfera con una magnetización uniforme creciente, que parece producir algo de radiación dentro de la esfera.

¿Alguna opinión sobre esta "solución"? ¿Cuál debería ser la interpretación correcta de la densidad de corriente (7)?

Calculé la potencia de salida del campo EM (1)-(2), a partir del vector de Poynting evaluado en $r = R$ , para un momento magnético giratorio, y es exactamente igual que la fórmula de emisión clásica y conocida para un dipolo giratorio. Así que esta es una buena prueba para la solución "interna".

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Cham

lukas bernes

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Cham

Cham

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