Convertir mapas de Karnaugh en expresiones booleanas

Question

Convertir mapas de Karnaugh en expresiones booleanas

Física
Mapa de Karnaugh
lógica-digital
álgebra de Boole

zurdo

Mi profesor mencionó brevemente que hay formas de "tomar 0" y "tomar 1" de un K-map que le permite formar las expresiones lógicas de manera diferente (por ejemplo, NAND-NAND, AND-OR, NOR-NOR, etc.). ¿Alguien puede explicar esto o dirigirme a una discusión sobre este tema? El único método que parece que puedo encontrar son las soluciones minterm vs maxterm.

Aquí está mi comprensión actual:

Para soluciones de términos mínimos, hacemos grupos de 1 en potencias de 2. Para cada agrupación, invierta si la variable sin cambios es un 0, y no haga nada si es 1. Cada variable en el grupo se combina con AND, y esto forma un producto de suma de productos con las otras agrupaciones (si las hay)- el resultado es la lógica AND-OR.

Para soluciones maxterm, hacemos grupos de 0 en potencias de 2. Para cada agrupación, invierta si la variable sin cambios es un 1, y no haga nada si es 0. Cada variable en el grupo se combina con OR, y esto forma un producto de sumas con las otras agrupaciones (si las hay), el resultado también es la lógica AND-OR.

No estoy seguro de lo que me estoy perdiendo.

nidin

NAND-NAND y AND-OR son lo mismo. Puede implementar directamente un SOP usando esto. De manera similar, NOR-NOR se puede usar para implementar un POS fácilmente.

zurdo

¿Se puede hacer esto usando el teorema de DeMorgan?

nidin

Usando el teorema de DeMorgan, se puede probar que NANAD-NAND es equivalente a AND-OR (SOP) y NOR-NOR es equivalente a OR-AND (POS).

Efervescencia

No estoy seguro de qué libros de texto está utilizando, pero este es un material bastante estándar, por ejemplo, books.google.com/books?id=xqLl9_YwYn4C&pg=SA2-PA27

Respuestas (1)

Convertir mapas de Karnaugh en expresiones booleanas

NAND-NAND y AND-OR son lo mismo. Puede implementar directamente un SOP usando esto. De manera similar, NOR-NOR se puede usar para implementar un POS fácilmente.
Usando el teorema de DeMorgan, se puede probar que NANAD-NAND es equivalente a AND-OR (SOP) y NOR-NOR es equivalente a OR-AND (POS).
No estoy seguro de qué libros de texto está utilizando, pero este es un material bastante estándar, por ejemplo, books.google.com/books?id=xqLl9_YwYn4C&pg=SA2-PA27

nidin · Answer 1

Lo que entendiste es correcto. Agrupar mintems da como resultado la forma de suma de productos (SOP) o la forma AND-OR como se muestra en (1)

\begin{matrix} (1) & Y = a_{1} a_{2} a_{3} + b_{1} b_{2} b_{3} + \dots + ω_{1} ω_{2} ω_{3} \end{matrix}

$Y = a_1a_2a_3 + b_1b_2b_3 + \cdots + \omega_1\omega_2\omega_3\tag1$ Calculador

\bar{Y}

$\overline{Y}$ usando el teorema de De-Morgan,

\bar{Y} = (\bar{a_{1} a_{2} a_{3}}) (\bar{b_{1} b_{2} b_{3}}) \dots (\bar{ω_{1} ω_{2} ω_{3}})

$\overline{Y} = (\overline{a_1a_2a_3} )\ (\overline{b_1b_2b_3}) \cdots (\overline{\omega_1\omega_2\omega_3})$ A partir de esto Y se puede escribir como

\begin{matrix} (2) & Y = \bar{(\bar{a_{1} a_{2} a_{3}}) (\bar{b_{1} b_{2} b_{3}}) \dots (\bar{ω_{1} ω_{2} ω_{3}})} \end{matrix}

$Y = \overline{(\overline{a_1a_2a_3} )\ (\overline{b_1b_2b_3}) \cdots (\overline{\omega_1\omega_2\omega_3})}\tag2$

¿Cuál es la forma NAND-NAND ya que las variables en un grupo se combinan NAND y NAND nuevamente para obtener Y? Por lo tanto, la forma AND-OR y la forma NAND-NAND son equivalentes.

El punto a tener en cuenta (de (1) y (2)) es que un circuito AND-OR se puede convertir en un circuito NAND-NAND simplemente reemplazando las compuertas AND y OR con compuertas NAND sin cambiar ninguna interconexión.

Entonces, agrupar "1" de K-map nos permite formar AND-OR y NAND-NAND fácilmente.

De manera similar, agrupar maxterms produce POS u OR-AND:

\begin{matrix} (3) & Y = (a_{1} + a_{2} + a_{3}) (b_{1} + b_{2} + b_{3}) \dots (ω_{1} + ω_{2} + ω_{3}) \end{matrix}

${Y} = ({a_1+a_2+a_3} )\ ({b_1+b_2+b_3}) \cdots ({\omega_1+\omega_2+\omega_3})\tag3$

Usando el teorema de De-Morgan se puede probar que OR-AND es equivalente a la forma NOR-NOR.

Entonces, agrupar "0" de K-map nos permite formar OR-AND y NOR-NOR fácilmente.

ACTUALIZAR:

Desde K-map, debe encontrar SOP o POS y luego puede implementar directamente usando el circuito NAND-NAND o NOR-NOR.

Por ejemplo, suponga que de K-map obtuvo el siguiente SOP de K-Map

Y = a b C + a b \bar{C} + \bar{a} b C

$Y = abc + ab\overline{c} + \overline{a}bc$

Puede implementar esto usando la lógica AND-OR como:

esquemático

De la misma manera que se puede implementar usando NAND-NAND como,

esquemático

Entonces, si puede dibujar directamente el circuito AND-OR desde K-map (SOP), entonces puede dibujar NAND-NAND simplemente reemplazando las puertas con NAND. De manera similar, dado POS, el circuito NOR-NOR se puede dibujar directamente.

Agradezco la respuesta en profundidad. ¡Gracias! Esto realmente aclara las cosas. Creo que lo que mi profesor estaba haciendo era usar la lógica NAND-NAND y NOR-NOR directamente desde el mapa K, por lo que podría ser un poco confuso.
¿Cómo obtiene NAND-NAND y NOR-NOR directamente del mapa K sin agrupar "1" y aplicar el teorema de DeMorgan?
@Lefty He editado la respuesta. Creo que la actualización puede explicarlo por ti.
¡Gracias una tonelada! No sé por qué mi profesor complica demasiado las cosas. La actualización ayuda mucho.

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