Simplificar ecuaciones booleanas con K-map

Question

Simplificar ecuaciones booleanas con K-map

Física
Mapa de Karnaugh
lógica-digital
diseño de circuito
álgebra de Boole

Karina

Mi profesor me dijo que podía llegar a la solución simplificada usando el K-map, lo cual supongo que hice, sin embargo, no parece correcto.

La ecuación y la solución correspondiente se muestran en las siguientes imágenes.

Mis pasos de simplificación fueron:

ABCD' + A(B' + C' + D') + (A'B'C'D') -> usó dos reglas de De Morgan
A(B' + C' + D') = AB'CD + AB'CD' + ABC'D + ABC'D' + ABC'D +ABC'D' + AB'C'D + AB'C'D ' + ABCD' + ABC'D + AB'CD' + AB'C'D' (abrió los paréntesis usando la identidad)
Dibuje el mapa K y llegue a esta ecuación simplificada: A + AB + B'C'D' (el dibujo se adjunta a continuación)

Obviamente, esto es incorrecto, ¿alguien podría ayudarme a señalar el error que cometí y también ayudarme a encontrar la simplificación sin K-map?

broma

¿Usaste dos reglas para llegar al paso 1? Si es así, ¿con qué empezó y qué dos reglas aplicó? O es el paso 1 mostrándonos el punto de partida. (No, no he dedicado tiempo a intentar responder a mi pregunta leyendo imágenes recortadas y su breve resumen. Creo que debería escribir mucho más en su pregunta. Dedique un poco más de tiempo a guiarnos a través de su proceso de pensamiento).

Karina

Hola. Gracias por su respuesta. Soy nuevo en el sitio web, por lo tanto, lo siento si apareció como un breve resumen. Incluí las capturas de pantalla porque no pude encontrar una manera de escribir líneas largas encima de los implicantes. Sí, utilicé dos reglas de De Morgan para llegar al paso uno. Así llegué a la simplificación en el primer paso, luego traté de abrir paréntesis usando la identidad (A+A'=1) y luego dibujé el K-map incluyendo todos los implicantes, tratando de identificar los primos.

broma

Por lo tanto, debemos suponer que hizo bien en llegar al paso 1 y, en su lugar, debemos centrarnos en por qué no logra llegar desde allí a la respuesta final utilizando kmaps. Pero no veo ningún kmaps ni información sobre lo que hizo con ellos para llegar a su resultado final (un error, supongo). ¿Cómo podemos ayudarlo a resolver esto si no podemos ver lo que hizo para llegar a la respuesta incorrecta? ¿O nos está pidiendo que le mostremos el camino correcto en lugar de señalarle dónde se equivocó?

Karina

Lo siento por eso. He actualizado mi respuesta, brindando toda la información necesaria en el paso 2 y el paso 3. También adjunto el dibujo de K-map que hice. Mis preguntas son: ¿qué estoy haciendo mal? ¿Y alguien podría darme una pista de cómo puedo resolverlo simplemente usando las leyes, en lugar de K-map? Ya que después del 1 paso me siento atascado.

broma

Gran mejora de la pregunta. +1. Lo revisaré cuando tenga un momento. Sin embargo, otros pueden saltar de antemano.

Karina

Gracias por tener un minuto.

broma

Su kmap se ve bien (desarrollado a partir del paso 1). Y su simplificación es casi donde yo iría naturalmente también. Es realmente muy bueno. No he revisado tu paso 2. Pero usando tu kmap directamente obtengo:

A \bar{B} + A \bar{C} + A \bar{D} + \bar{B} \bar{C} \bar{D}

$A\,\overline{B}+A\,\overline{C}+A\,\overline{D}+\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D}$ . Eso también es bastante obvio con un simple examen de la ecuación del paso 1. El primer término y el último término se pueden fusionar.

Karina

No estoy seguro de cómo llegaste allí. ¿Mis círculos son correctos?

Karina

Si se fusionan, ¿sería solo D'?

broma

En mi cabeza primero rodeé la última columna de cuatro, tal como lo hiciste tú. Luego rodeé el grupo de cuatro en la esquina superior derecha. Luego rodeé otros cuatro, esta vez eligiendo los dos superiores en la esquina superior derecha, más los dos inferiores en la esquina inferior derecha. Finalmente, rodeé el par formado por el uno de la esquina superior izquierda más el uno de la esquina superior derecha. ¿Tiene eso sentido para ti?

Karina

Oh muchas gracias. Violé la regla de que el número de cuadrados debe ser la potencia de dos. ¿Podría darme una pista de cómo se pueden fusionar el primero y el último en el paso 1? Lo que obtengo es D'(ABC + A'B'C) = D'

broma

Bueno, debes tener en cuenta el medio al fusionarlos. Necesitaría dibujar todo el conjunto de pasos lógicos para eso. ¿Está buscando hacer esto tanto algebraicamente como a través de kmaps? ¿O ya es suficiente verlo a través del kmap?

Karina

Estoy buscando hacer esto tanto algebraicamente como a través de k-maps, pero claramente no puedo ver cómo puedo fusionarlos.

broma

Puedo proporcionar una forma de fuerza bruta pero también simple de entender (no complicada) de llegar a la respuesta algebraica. ¿Quieres que escriba una respuesta para ello?

Respuestas (1)

Simplificar ecuaciones booleanas con K-map

¿Usaste dos reglas para llegar al paso 1? Si es así, ¿con qué empezó y qué dos reglas aplicó? O es el paso 1 mostrándonos el punto de partida. (No, no he dedicado tiempo a intentar responder a mi pregunta leyendo imágenes recortadas y su breve resumen. Creo que debería escribir mucho más en su pregunta. Dedique un poco más de tiempo a guiarnos a través de su proceso de pensamiento).
Hola. Gracias por su respuesta. Soy nuevo en el sitio web, por lo tanto, lo siento si apareció como un breve resumen. Incluí las capturas de pantalla porque no pude encontrar una manera de escribir líneas largas encima de los implicantes. Sí, utilicé dos reglas de De Morgan para llegar al paso uno. Así llegué a la simplificación en el primer paso, luego traté de abrir paréntesis usando la identidad (A+A'=1) y luego dibujé el K-map incluyendo todos los implicantes, tratando de identificar los primos.
Por lo tanto, debemos suponer que hizo bien en llegar al paso 1 y, en su lugar, debemos centrarnos en por qué no logra llegar desde allí a la respuesta final utilizando kmaps. Pero no veo ningún kmaps ni información sobre lo que hizo con ellos para llegar a su resultado final (un error, supongo). ¿Cómo podemos ayudarlo a resolver esto si no podemos ver lo que hizo para llegar a la respuesta incorrecta? ¿O nos está pidiendo que le mostremos el camino correcto en lugar de señalarle dónde se equivocó?
Lo siento por eso. He actualizado mi respuesta, brindando toda la información necesaria en el paso 2 y el paso 3. También adjunto el dibujo de K-map que hice. Mis preguntas son: ¿qué estoy haciendo mal? ¿Y alguien podría darme una pista de cómo puedo resolverlo simplemente usando las leyes, en lugar de K-map? Ya que después del 1 paso me siento atascado.
Gran mejora de la pregunta. +1. Lo revisaré cuando tenga un momento. Sin embargo, otros pueden saltar de antemano.
Su kmap se ve bien (desarrollado a partir del paso 1). Y su simplificación es casi donde yo iría naturalmente también. Es realmente muy bueno. No he revisado tu paso 2. Pero usando tu kmap directamente obtengo: $A\,\overline{B}+A\,\overline{C}+A\,\overline{D}+\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D}$ . Eso también es bastante obvio con un simple examen de la ecuación del paso 1. El primer término y el último término se pueden fusionar.
No estoy seguro de cómo llegaste allí. ¿Mis círculos son correctos?
En mi cabeza primero rodeé la última columna de cuatro, tal como lo hiciste tú. Luego rodeé el grupo de cuatro en la esquina superior derecha. Luego rodeé otros cuatro, esta vez eligiendo los dos superiores en la esquina superior derecha, más los dos inferiores en la esquina inferior derecha. Finalmente, rodeé el par formado por el uno de la esquina superior izquierda más el uno de la esquina superior derecha. ¿Tiene eso sentido para ti?
Oh muchas gracias. Violé la regla de que el número de cuadrados debe ser la potencia de dos. ¿Podría darme una pista de cómo se pueden fusionar el primero y el último en el paso 1? Lo que obtengo es D'(ABC + A'B'C) = D'
Bueno, debes tener en cuenta el medio al fusionarlos. Necesitaría dibujar todo el conjunto de pasos lógicos para eso. ¿Está buscando hacer esto tanto algebraicamente como a través de kmaps? ¿O ya es suficiente verlo a través del kmap?
Estoy buscando hacer esto tanto algebraicamente como a través de k-maps, pero claramente no puedo ver cómo puedo fusionarlos.
Puedo proporcionar una forma de fuerza bruta pero también simple de entender (no complicada) de llegar a la respuesta algebraica. ¿Quieres que escriba una respuesta para ello?

broma · Answer 1

Aquí está el mapa k inicial:

\begin{aligned} \begin{matrix} \begin{array}{rcccc} \bar{A} \bar{B} & \bar{A} B & A B & A \bar{B} \\ \bar{C} \bar{D} & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \bar{C} D & 0 & 0 & 1 & 1 \\ C D & 0 & 0 & 0 & 1 \\ C \bar{D} & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \end{matrix} \end{aligned}

$\begin{array}{rl} \begin{smallmatrix}\begin{array}{r|cccc} &\overline{A}\:\overline{B}&\overline{A}\: B&A\: B&A\: \overline{B}\\ \hline \overline{C}\:\overline{D}&1&0&1&1\\ \overline{C}\:D&0&0&1&1\\ C\: D&0&0&0&1\\ C\:\overline{D}&0&0&1&1 \end{array}\end{smallmatrix} \end{array}$

Y así es como rodeé las cosas (usando Paint):

Un método de álgebra de fuerza bruta podría ser así:

\begin{aligned} A B C \bar{D} + A (\bar{B} + \bar{C} + \bar{D}) + \bar{A} \bar{B} \bar{C} \bar{D} \\ A B C \bar{D} + \bar{A} \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A \bar{B} + A \bar{C} + A \bar{D} \\ A B C \bar{D} + \bar{A} \bar{B} \bar{C} \bar{D} \\ + A \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A \bar{B} \bar{C} D + A \bar{B} C \bar{D} + A \bar{B} C D \\ + A \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A \bar{B} \bar{C} D + A B \bar{C} \bar{D} + A B \bar{C} D \\ + A \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A \bar{B} C \bar{D} + A B \bar{C} \bar{D} + A B C \bar{D} \\ A B C \bar{D} + (\bar{A} \bar{B} \bar{C} \bar{D} \\ + A \bar{B} \bar{C} \bar{D}) + A \bar{B} \bar{C} D + A \bar{B} C \bar{D} + A \bar{B} C D \\ + A \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A \bar{B} \bar{C} D + A B \bar{C} \bar{D} + A B \bar{C} D \\ + A \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A \bar{B} C \bar{D} + A B \bar{C} \bar{D} + A B C \bar{D} \\ \bar{B} \bar{C} \bar{D} \\ + A B C \bar{D} + A \bar{B} \bar{C} D + A \bar{B} C \bar{D} + A \bar{B} C D \\ + A \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A \bar{B} \bar{C} D + A B \bar{C} \bar{D} + A B \bar{C} D \\ + A \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A \bar{B} C \bar{D} + A B \bar{C} \bar{D} + A B C \bar{D} \\ \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A (\bar{B} [\bar{C} \bar{D} + \bar{C} D + C \bar{D} + C D] + B [\bar{C} \bar{D} + \bar{C} D + C \bar{D}]) \\ \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A (\bar{B} + B [\bar{C} \bar{D} + \bar{C} D + C \bar{D}]) \\ \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A (\bar{B} + \bar{C} \bar{D} + \bar{C} D + C \bar{D}) \\ \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A (\bar{B} + \bar{C} + C \bar{D}) \\ \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A (\bar{B} + \bar{C} + \bar{D}) \end{aligned}

$\begin{align*} & A\,B\,C\,\overline{D} + A\left(\overline{B} + \overline{C} + \overline{D}\right) + \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D}\\\\ & A\,B\,C\,\overline{D} + \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,\overline{B} + A\,\overline{C} + A\,\overline{D}\\\\ & A\,B\,C\,\overline{D} + \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D}\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,D + A\,\overline{B}\,C\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,C\,D\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,D + A\,B\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,B\,\overline{C}\,D\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,C\,\overline{D} + A\,B\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,B\,C\,\overline{D}\\\\ & A\,B\,C\,\overline{D} + \left(\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D}\right.\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad + \left.A\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D}\right) + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,D + A\,\overline{B}\,C\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,C\,D\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,D + A\,B\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,B\,\overline{C}\,D\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,C\,\overline{D} + A\,B\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,B\,C\,\overline{D}\\\\ & \overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D}\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad + A\,B\,C\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,D + A\,\overline{B}\,C\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,C\,D\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,D + A\,B\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,B\,\overline{C}\,D\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,C\,\overline{D} + A\,B\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,B\,C\,\overline{D}\\\\ & \overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\left(\overline{B}\left[\overline{C}\,\overline{D} + \overline{C}\,D + C\,\overline{D} + C\,D\right] + B\left[\overline{C}\,\overline{D} + \overline{C}\,D + C\,\overline{D}\right]\right)\\\\ & \overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\left(\overline{B} + B\left[\overline{C}\,\overline{D} + \overline{C}\,D + C\,\overline{D}\right]\right)\\\\ & \overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\left(\overline{B} + \overline{C}\,\overline{D} + \overline{C}\,D + C\,\overline{D}\right)\\\\ & \overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\left(\overline{B} + \overline{C} + C\,\overline{D}\right)\\\\ & \overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\left(\overline{B} + \overline{C} + \overline{D}\right) \end{align*}$

Espero que sigas bien esos pasos.

@Maria Me alegro de que haya ayudado. Si esto resuelve el problema, no dude en marcar la respuesta como "aceptada". Esto les permite a los demás saber que no necesitan perder el tiempo agregando más respuestas. Pero si cree que otras respuestas podrían ayudar, debe contenerse y esperar a ver.

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