Constante de decaimiento, ¿qué significa? [duplicar]

la ecuacion diferencial

$$\frac{dN}{dt}=-\lambda N$$ se vuelve más instructivo cuando lo escribimos como $$-\frac{dN}{N} = \lambda\ dt.$$

Entonces tienes una cantidad adimensional (en realidad, una probabilidad) en cada lado de la ecuación. Reemplazando las diferenciales infinitesimales por diferencias finitas obtenemos

$$-\frac{\Delta N}{N} \approx \lambda\ \Delta t.$$ que es una aproximación válida si ambos lados de la ecuación son mucho más pequeños que$1$.

Sigamos con tu ejemplo$\lambda=100\text{ s}^{-1}$y recoger$\Delta t=10^{-4}\text{ s}$. entonces obtienes$-\frac{\Delta N}{N} \approx \lambda\ \Delta t = 0.01$que significa el numero$N$disminuye en$1$% durante esto$10^{-4}$s.

$1/\lambda$es el tiempo de vida medio para que una sola partícula haga la transición del estado inicial al estado final. No es una probabilidad; Este es un parámetro (físico) que caracteriza la distribución de probabilidad para el tiempo de vida.

Con respecto a$\frac{dN}{dt N} = - \lambda$y$\lambda >1$-- reescribe la expresión como$dN = -\lambda N dt$. Esta es una afirmación de que la cantidad de cambio en la cuenta es proporcional a$\lambda$, y proporcional al número actual presente y se escala linealmente con el incremento de tiempo.

La ecuación se puede reescribir como$\lambda = -\left[\frac{dN}{N}\right]/dt$(esto es algo abusivo de la notación, pero da una comprensión más intuitiva).$\frac{dN}{N}$es una parte del monto total; puedes pensar en ello como un porcentaje. Entonces, podría tener, por ejemplo, una tasa de decaimiento del 1% por segundo. Este es un porcentaje instantáneo; una tasa de decaimiento del 1% por segundo significa que a medida que el intervalo de tiempo llega a cero, la relación entre el porcentaje de decaimiento y el tiempo transcurrido llega al 1%. Entonces, por ejemplo, podrías tener un 1,01 % de decaimiento en un segundo, un 0,1001 % de decaimiento en 0,1 segundos, un 0,010001 % de decaimiento en 0,01 segundos, etc. Puedes considerarlo como la probabilidad de que una partícula en particular se desintegre en un segundo, excepto que hay un efecto compuesto; resolviendo la ecuación diferencial da$N = N_0e^{-\lambda t}$, por lo que una tasa de decaimiento del 1% por segundo significa que en un segundo, tiene un decaimiento de$e^{0.01}=1.01$.

Si la tasa de decaimiento es más de uno, eso solo significa que tiene un período de tiempo más corto para decaer cualquier cantidad dada. Por ejemplo, una tasa de decaimiento del 200 % por segundo significa que se obtiene un decaimiento del 0,2 % por milisegundo. Si está confundido acerca de cómo funciona si tenemos un tiempo transcurrido de un segundo, recuerde que los decaimientos se multiplican, no se suman, por lo que en un segundo no tenemos 0,2%*1000=200% decaimiento; más bien, tenemos$0.998^{1000}$, o 13,5% sobrante.