Conservación del momento en el electromagnetismo.

Question

Conservación del momento en el electromagnetismo.

Euler

Estoy tratando de probar la conservación del momento de un conjunto de partículas cargadas, pero estoy tratando de hacerlo sin usar el tensor de momento, como lo hace el libro de electrodinámica de Jackson.

Si comenzamos con el impulso y su derivada,

PAG = \sum {metro}_{j} v_{j} + ϵ_{0} \int mi \times B d^{3} r

$P=\sum m_j v_j+\epsilon_0\int E\times Bd^3r$

\frac{d PAG}{d t} = \sum {metro}_{j} {\dot{v}}_{j} + ϵ_{0} \int (\dot{mi} \times B + mi \times \dot{B}) d^{3} r

$\frac{dP}{dt}=\sum m_j \dot{v}_j+\epsilon_0\int \left(\dot{E}\times B+E\times \dot{B}\right)d^3r$

Sustituyendo las derivadas de la parte derecha de las ecuaciones de Maxwell y la parte izquierda de la ecuación de Lorentz,

\begin{aligned} \frac{d PAG}{d t} & = \sum q_{j} (mi + v_{j} \times B) + ϵ_{0} \int [(C^{2} \nabla \times B - \frac{1}{ϵ_{0}} j) \times B + mi \times (- \nabla \times mi)] d^{3} r \\ = \sum q_{j} (mi + v_{j} \times B) + ϵ_{0} C^{2} \int (\nabla \times B) \times B d^{3} r - \int j \times B d^{3} r - ϵ_{0} \int mi \times (\nabla \times mi) d^{3} r \end{aligned}

$\begin{align}\frac{dP}{dt}&=\sum q_j(E+v_j\times B)+\epsilon_0\int \left[\left(c^2 \nabla \times B-\frac{1}{\epsilon_0}J \right)\times B+E\times \left( -\nabla \times E \right)\right]d^3r \\ &=\sum q_j(E+v_j\times B)+\epsilon_0 c^2\int (\nabla \times B)\times Bd^3r-\int J\times Bd^3r-\epsilon_0 \int E\times (\nabla \times E) d^3r \end{align}$

ahora sustituyendo $J$ para un conjunto de partículas $J=\sum q_j v_j \delta(r-r_j)$ , la integral se anula con el delta de Dirac,

\begin{aligned} \frac{d PAG}{d t} & = \sum q_{j} (mi + v_{j} \times B) + ϵ_{0} C^{2} \int (\nabla \times B) \times B d^{3} r - \sum q_{j} v_{j} \times B - ϵ_{0} \int mi \times (\nabla \times mi) d^{3} r \\ = \sum q_{j} mi + ϵ_{0} C^{2} \int (\nabla \times B) \times B d^{3} r - ϵ_{0} \int mi \times (\nabla \times mi) d^{3} r \end{aligned}

$\begin{align}\frac{dP}{dt}&=\sum q_j(E+v_j\times B)+\epsilon_0 c^2\int (\nabla \times B)\times Bd^3r-\sum q_j v_j\times B-\epsilon_0 \int E\times (\nabla \times E) d^3r \\ &=\sum q_jE+\epsilon_0 c^2\int (\nabla \times B)\times Bd^3r-\epsilon_0 \int E\times (\nabla \times E) d^3r \end{align}$

Ahora uso la propiedad,

A \times (\nabla \times A) = \frac{1}{2} \nabla (A \cdot A) - (A \cdot \nabla) A

$A \times (\nabla \times A)=\frac{1}{2}\nabla (A \cdot A)-(A \cdot\nabla)A$

Entonces (usando $\nabla(A \cdot A)=(\nabla A) A + A (\nabla A)$ ) la expresión termina siendo,

\begin{aligned} \frac{d PAG}{d t} & = \sum q_{j} mi \\ - ϵ_{0} C^{2} \int (\frac{(\nabla B) B + B (\nabla B)}{2} - (B \cdot \nabla) B) d^{3} r \\ - ϵ_{0} \int (\frac{(\nabla mi) mi + mi (\nabla mi)}{2} - (mi \cdot \nabla) mi) d^{3} r \end{aligned}

$\begin{align}\frac{dP}{dt}&=\sum q_jE\\ &-\epsilon_0 c^2\int \left(\frac{(\nabla B) B + B (\nabla B)}{2}-(B\cdot \nabla)B\right)d^3r\\ &-\epsilon_0 \int \left(\frac{(\nabla E) E + E (\nabla E)}{2}-(E\cdot \nabla)E\right)d^3r \end{align}$

Y de las ecuaciones de Maxwell, $\nabla \cdot B=0$ y $\nabla \cdot E= \rho/\epsilon_0$ , y también para partículas cargadas $\rho=\sum q_j \delta(r-r_j)$

\begin{aligned} \frac{d PAG}{d t} & = \sum q_{j} mi + ϵ_{0} C^{2} \int (B \cdot \nabla) B d^{3} r - \int ρ mi d^{3} r + ϵ_{0} \int (mi \cdot \nabla) mi d^{3} r \\ = \sum q_{j} mi + ϵ_{0} C^{2} \int (B \cdot \nabla) B d^{3} r - \int \sum q_{j} d (r - r_{j}) mi d^{3} r + ϵ_{0} \int (mi \cdot \nabla) mi d^{3} r \\ = \sum q_{j} mi + ϵ_{0} C^{2} \int (B \cdot \nabla) B d^{3} r - \sum q_{j} mi + ϵ_{0} \int (mi \cdot \nabla) mi d^{3} r \\ = ϵ_{0} C^{2} \int (B \cdot \nabla) B d^{3} r + ϵ_{0} \int (mi \cdot \nabla) mi d^{3} r \end{aligned}

$\begin{align}\frac{dP}{dt}&=\sum q_jE +\epsilon_0 c^2\int (B\cdot \nabla)Bd^3r- \int \rho Ed^3r+\epsilon_0 \int (E\cdot \nabla)Ed^3r \\ &=\sum q_jE +\epsilon_0 c^2\int (B\cdot \nabla)Bd^3r- \int \sum q_j \delta(r-r_j)Ed^3r+\epsilon_0 \int (E\cdot \nabla)Ed^3r \\ &=\sum q_jE +\epsilon_0 c^2\int (B\cdot \nabla)Bd^3r-\sum q_jE+\epsilon_0 \int (E\cdot \nabla)Ed^3r \\ &=\epsilon_0 c^2\int (B\cdot \nabla)Bd^3r+\epsilon_0 \int (E\cdot \nabla)Ed^3r \end{align}$

llegando a

\frac{d PAG}{d t} = ϵ_{0} \int (C^{2} (B \cdot \nabla) B + (mi \cdot \nabla) mi) d^{3} r

$\begin{equation}\boxed{\frac{dP}{dt}=\epsilon_0 \int\left(c^2 (B\cdot \nabla)B+ (E\cdot \nabla)E\right)d^3r}\end{equation}$

Y ahora no sé nada como seguir, porque si aplico la definición de los operadores de Nabla, llegamos a

\begin{aligned} \frac{d PAG}{d t} & = ϵ_{0} \sum_{i} \int (C^{2} B_{i} \frac{\partial B_{i}}{d X_{i}} + {mi}_{i} \frac{\partial {mi}_{i}}{d X_{i}}) d^{3} r \\ = ϵ_{0} \sum_{i} \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial X_{i}} \int (C^{2} B_{i}^{2} + {mi}_{i}^{2}) d^{3} r \end{aligned}

$\begin{align}\frac{dP}{dt}&=\epsilon_0 \sum_i \int\left(c^2B_i \frac{\partial B_i}{dx_i}+E_i \frac{\partial E_i}{dx_i} \right)d^3r \\ &=\epsilon_0 \sum_i \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_i}\int\left(c^2B_i^2 +E_i^2 \right)d^3r \end{align}$

Pero en este punto no tengo idea de lo que debo hacer a continuación, solo sé que podemos cambiar al espacio recíproco, donde tenemos las variables discretizadas,

\begin{aligned} mi & = i norte (k) (α (k) - α (- k)^{*}) \\ B & = \frac{i norte (k)}{C} (\hat{norte} \times α (k) + \hat{norte} \times α (- k)^{*}) \end{aligned}

$\begin{align}\mathscr{E}&=iN(k)\left(\alpha(k)-\alpha(-k)^*\right)\\ \mathscr{B}&=\frac{iN(k)}{c}\left(\hat{n}\times\alpha(k)+\hat{n}\times\alpha(-k)^*\right) \end{align}$

Pero no puedo aplicar esto a los componentes. $E_i$ de los campos... asi que si alguien me pudiera dar alguna ayuda o alguna pista se lo agradeceria mucho

Respuestas (2)

Conservación del momento en el electromagnetismo.

alto · Answer 1

A partir de esta ecuación para los componentes:

\frac{d {PAG}_{i}}{d t} = \sum q_{j} {mi}_{i} + ϵ_{0} C^{2} \int {((\nabla \times B) \times B)}_{i} d^{3} r - ϵ_{0} \int {(mi \times (\nabla \times mi))}_{i} d^{3} r

$\frac{dP_i}{dt}=\sum q_jE_i+\epsilon_0 c^2\int \left((\nabla \times B)\times B\right)_i d^3r-\epsilon_0 \int \left(E\times (\nabla \times E)\right)_i d^3r$

Usa la identidad:

ϵ_{i j k} ϵ_{i yo metro} = d_{j yo} d_{k metro} - d_{j metro} d_{k yo}

$\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} = \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl}$ para reescribir la ecuación inicial

\frac{d {PAG}_{i}}{d t} = \sum q_{j} {mi}_{i} + ϵ_{0} C^{2} \int (ϵ_{i j k} (\nabla_{yo} B_{metro}) ϵ_{j yo metro} B_{k}) d^{3} r - ϵ_{0} \int (ϵ_{i j k} {mi}_{j} (\nabla_{yo} {mi}_{metro}) ϵ_{k yo metro}) d^{3} r

$\frac{dP_i}{dt}=\sum q_jE_i+\epsilon_0 c^2\int \left(\epsilon_{ijk}(\nabla_l B_m)\epsilon_{jlm}B_k\right) d^3r - \epsilon_0\int \left(\epsilon_{ijk}E_j(\nabla_l E_m)\epsilon_{klm}\right) d^3r$ como:

\frac{d {PAG}_{i}}{d t} = \sum q_{j} {mi}_{i} + ϵ_{0} C^{2} \int ((d_{k yo} d_{i metro} - d_{k metro} d_{i yo}) (\nabla_{yo} B_{metro}) B_{k}) d^{3} r - ϵ_{0} \int ((d_{i yo} d_{j metro} - d_{i metro} d_{j yo}) {mi}_{j} (\nabla_{yo} {mi}_{metro})) d^{3} r

$\frac{dP_i}{dt}=\sum q_jE_i+\epsilon_0 c^2\int \left((\delta_{kl}\delta_{im} - \delta_{km}\delta_{il})(\nabla_l B_m)B_k\right) d^3r-\epsilon_0 \int \left((\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})E_j(\nabla_l E_m)\right) d^3r$

Ahora, podemos usar el hecho de que los campos desaparecen en el infinito para integrar por partes y tenemos:

\frac{d {PAG}_{i}}{d t} = \sum q_{j} {mi}_{i} - ϵ_{0} C^{2} \int ((d_{k yo} d_{i metro} - d_{k metro} d_{i yo}) B_{metro} (\nabla_{yo} B_{k})) d^{3} r + ϵ_{0} \int ((d_{i yo} d_{j metro} - d_{i metro} d_{j yo}) {mi}_{metro} (\nabla_{yo} {mi}_{j})) d^{3} r

$\frac{dP_i}{dt}=\sum q_jE_i-\epsilon_0 c^2\int \left((\delta_{kl}\delta_{im} - \delta_{km}\delta_{il})B_m(\nabla_l B_k)\right) d^3r+\epsilon_0 \int \left((\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})E_m(\nabla_l E_j)\right) d^3r$

Entonces, las ecuaciones de Maxwell nos dan:

\frac{d {PAG}_{i}}{d t} = ϵ_{0} C^{2} \int d_{k metro} d_{i yo} B_{metro} \nabla_{yo} B_{k} d^{3} r + ϵ_{0} \int d_{i yo} d_{j metro} {mi}_{metro} \nabla_{yo} {mi}_{j} d^{3} r

$\frac{dP_i}{dt}=\epsilon_0 c^2\int \delta_{km}\delta_{il}B_m\nabla_l B_k d^3r+\epsilon_0 \int \delta_{il}\delta_{jm}E_m\nabla_l E_j d^3r$

O:

\frac{d {PAG}_{i}}{d t} = ϵ_{0} C^{2} \int B_{metro} \nabla_{i} B_{metro} d^{3} r + ϵ_{0} \int {mi}_{metro} \nabla_{i} {mi}_{metro} d^{3} r,

$\frac{dP_i}{dt}=\epsilon_0 c^2\int B_m\nabla_i B_m d^3r+\epsilon_0 \int E_m\nabla_i E_m d^3r\;,$ donde se suman los índices repetidos (m).

Pero resulta que cada uno de los dos términos de la derecha son individualmente iguales a cero. Esto es cierto porque, como ya hemos supuesto, los campos se anulan en el infinito. Entonces podemos integrar por partes al contenido de nuestro corazón.

Por ejemplo:

\int B_{metro} (\nabla_{i} B_{metro}) d^{3} r = - \int (\nabla_{i} B_{metro}) (B_{metro}) d^{3} r,

$\int B_m(\nabla_i B_m) d^3r = -\int (\nabla_iB_m)(B_m) d^3r\;,$ lo que dice que esta integral es igual a la negativa de sí misma, es decir, ¡cero! (También puedes ver que es cero por el razonamiento de la otra respuesta, es decir, que es la mitad de la derivada total del cuadrado del campo).

Y de manera similar para la integral de campo eléctrico.

Por lo tanto, la derivada temporal de la cantidad de movimiento total es cero (se conserva la cantidad de movimiento total).

Tomas Fritsch · Answer 2

Ya casi has llegado.
Continuemos con la integral de volumen encuadrada cerca del final de tu pregunta.

\begin{aligned} \frac{d PAG}{d t} & = ϵ_{0} \int_{todo el espacio} (C^{2} (B \cdot \nabla) B + (mi \cdot \nabla) mi) d V \\ = ϵ_{0} \int_{todo el espacio} \frac{1}{2} \nabla (C^{2} B^{2} + {mi}^{2}) d V \\ usar el teorema del gradiente de Gauss para convertir la integral de volumen \\ a una integral de superficie sobre un integrando escalar \\ = ϵ_{0} \int_{superficie infinitamente grande} \frac{1}{2} (C^{2} B^{2} + {mi}^{2}) d S \\ en la superficie infinitamente lejana el integrando desaparece (porque B = 0 y mi = 0) \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d\mathbf{P}}{dt} &=\epsilon_0 \int_\text{whole space}\left(c^2(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{B}+(\mathbf{E}\cdot\nabla)\mathbf{E}\right)dV \\ &=\epsilon_0 \int_\text{whole space}\frac{1}{2}\nabla\left(c^2\mathbf{B}^2+\mathbf{E}^2\right)dV \\ &\quad\text{use Gauss's gradient theorem to convert the volume integral}\\ &\quad\text{ to a surface integral over a scalar integrand} \\ &=\epsilon_0\int_\text{infinitely big surface}\frac{1}{2}\left(c^2\mathbf{B}^2+\mathbf{E}^2\right)d\mathbf{S} \\ &\quad\text{on the infinitely far away surface the integrand vanishes (because $\mathbf{B}=\mathbf{0}$ and $\mathbf{E}=\mathbf{0}$}) \\ &=\mathbf{0} \end{align}$

Creo que los índices no están claros en la primera ecuación (tomada de la publicación de OP). Parece que la B está salpicada de nabla, pero en realidad el índice de nabla es libre y la B está salpicada de B en el otro lado de la ecuación. Pero es difícil ser claro con todos los vectores y cdots en negrita en lugar de solo mostrar los índices explícitamente.
@hft: estoy bastante seguro de que el OP ha cometido un par de errores de álgebra vectorial en su derivación. Ver mis comentarios sobre la pregunta principal.
Las ecuaciones de Maxwell no especifican necesariamente que E y B desaparezcan en el infinito. Las ecuaciones de Jefimenko sí, pero no son soluciones generales a la ecuación de onda no homogénea.

Conservación del momento en el electromagnetismo.

Euler

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alto

Tomas Fritsch

alto

Michael Seifert

pablo jensen

¿Dónde me estoy equivocando al derivar la primera ecuación de Maxwell en forma diferencial?

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