Conservación del momento angular del disco y el bloque.

Este problema tiene una gran diferencia con muchos problemas similares de libros de texto que tratan sobre la conservación del momento angular.

En muchos de los problemas de los libros de texto, el eje de rotación del disco alrededor de su centro de masa (CM) está fijo por una fuerza/torque restrictivo y no se mueve. Si ese fuera el caso aquí, el eje de rotación no se movería cuando la piedra se coloca (y se mueve) en el disco. El problema se abordaría considerando el momento angular del disco/piedra sobre el eje fijo de rotación.

Aquí, el disco está sobre una mesa sin fricción y su eje de rotación puede moverse, pero siempre es perpendicular a la superficie de la mesa. El problema se evalúa mejor considerando el momento angular alrededor del centro de masa del sistema disco/piedra. Denote el centro de masa del sistema que consta del disco y la piedra como CMS (centro de masa del sistema). Debido a la conservación del momento lineal, el CMS no se mueve. Para mantener el CMS fijo a medida que la piedra se mueve (gira sobre el disco), el CM del disco se mueve y gira sobre el CMS. Además, el disco gira sobre su propio CM y el cálculo gira sobre el CMS. El momento angular se conserva. El movimiento general se cuantifica en una respuesta anterior de @ytlu.

Un error conceptual: el teorema de los ejes paralelos se usa para encontrar el momento de inercia sobre un eje giratorio que no es el CM. En este problema, el disco no gira alrededor del CM (para el sistema de junta de roca y disco) sino que gira alrededor del centro del disco.

Por lo tanto, se debe pensar en descomponer el movimiento en movimiento del centro del disco alrededor del CM y la rotación alrededor del centro del disco.

Por lo tanto, al principio, la roca y el disco no se mueven con respecto al CM (entre la roca y el centro del disco):

En el movimiento final, la roca gira alrededor del CM, y el centro del disco también gira alrededor del CM, para mantener fijo el centro de masa. Además, el disco tiene rotación adicional sobre el centro del disco. Todas estas rotaciones son de una misma frecuencia.$\omega_f$para sincronización.

Luego aplicando$L_i = L_f$, prestar

Para aplicar la conservación del momento angular, necesitamos tener un COR que se mantenga constante.

Estoy de acuerdo en que esto parece que debería ser cierto, pero en realidad no es lo que es la conservación del momento angular. La ley de conservación del momento angular establece que cuando ningún par externo actúa sobre un objeto, no se producirá ningún cambio en el momento angular.

Si observa el objeto (sistema roca-disco), si elige cualquier punto no fijo, estará introduciendo un momento lineal en la ecuación, lo que no puede hacer de forma gratuita (es decir, sin restar el momento angular)

Para aplicar la conservación del momento angular, necesitamos tener un COR que se mantenga constante

Como el señor o ha respondido, esto no es cierto, la única condición para que se conserve el momento angular es que no debe haber un par externo.

Este error conceptual te hizo decir esto:

El momento angular inicial con CM=COR sería$(1/2+1/4)mR^2 \omega_0$

Lo que hiciste aquí es el momento angular calculado sobre un eje sobre el que el disco ni siquiera gira, esto debería parecerte incorrecto. El$I$en la fórmula del momento angular$I\omega$es el momento de inercia con respecto al eje de rotación. No es el eje de rotación futura.

¿No debería calcularse el momento angular con el momento de inercia del COR como centro?

Realmente no entiendo esta afirmación, ¿hay más consultas?

Redacción exacta del problema:

"Un disco circular sólido uniforme de masa$m$está sobre una mesa horizontal plana y sin fricción. El centro de masa del disco está en reposo y el disco gira con frecuencia angular$\omega_0$. Una piedra, modelada como un objeto puntual también de masa.$m,$se coloca en el borde del disco, con velocidad inicial cero con respecto a la mesa. Un borde integrado en el disco obliga a la piedra a deslizarse, con fricción, a lo largo del borde del disco. Después de que la piedra deja de deslizarse con respecto al disco, ¿cuál es la frecuencia angular de rotación del disco y la piedra juntas?"

Estoy de acuerdo contigo, por supuesto, en que en el estado final el objeto combinado rotará alrededor del Centro de Masa Común.

Replanteo el problema de la siguiente manera: inicialmente la piedra se desliza sin fricción a lo largo del borde. Luego se encuentra con una parada y hay una colisión inelástica instantánea.

Es decir, estoy declarando explícitamente que haya o no una fase de fricción no cambia el resultado. (Supongo que ya está procediendo de esa manera, implícitamente).

En el estado inicial, la piedra está estacionaria con respecto al sistema de coordenadas, por lo que tiene un momento angular cero con respecto a cualquier punto de ese sistema de coordenadas.

En el instante en que ocurre la colisión inelástica instantánea, ambos objetos experimentan un desplazamiento simétrico de sus ejes de velocidad angular.

Podemos tratar la velocidad angular inicial de la piedra como una velocidad angular de cero alrededor de su propio centro de masa.

En el instante de la colisión, ambos ejes se desplazan uno hacia el otro, de modo que en el estado final los dos ejes coinciden.

Entonces: mi propuesta es capitalizar la simetría. Trate el problema como un problema con inicialmente dos ejes de rotación. Ambos ejes de rotación se desplazan uno hacia el otro y llegan a coincidir. Durante ese cambio de ejes de rotación, los dos objetos ejercen un par de torsión entre sí. Como cuestión de principio: alrededor del CCM esos dos pares son iguales y opuestos.

Por el contrario, sería muy complicado atribuir un momento angular al disco alrededor del futuro Centro de masa común, ya que en el estado inicial el disco no gira realmente alrededor de ese eje. Esos dos ejes tienen una velocidad instantánea entre sí que debería tenerse en cuenta.