Confusión sobre el efecto de los dieléctricos en la energía almacenada en un capacitor

Parece que una magnitud de campo eléctrico disminuida significaría una energía reducida almacenada en el capacitor

Si eso fuera cierto, ¿a dónde fue la energía cuando se insertó el dieléctrico?

La energía almacenada en un capacitor depende de la carga y la capacitancia del capacitor. ¡Al insertar el dieléctrico, cambió (aumentó) la capacitancia del capacitor! Como la energía y la carga deben permanecer iguales, el voltaje debe disminuir.

Si insertar un dieléctrico tiene el efecto de reducir la magnitud del campo eléctrico en un capacitor ( manteniendo constantes todas las demás variables ), entonces ¿por qué la energía almacenada en un capacitor es directamente proporcional a la permitividad relativa del dieléctrico?

No puede mantener constantes todas las demás variables al insertar un dieléctrico porque aumenta la capacitancia. Si la capacitancia aumenta, el voltaje del terminal (el voltaje "almacenado" entre las placas) se reducirá.

Editar saludos al comentario de Trever_G

Trevor_G tiene razón cuando dijo en un comentario (usando mis palabras) que la energía se pierde pero la carga sigue siendo la misma. Esto se debe a que cuando inserta un dieléctrico, hay una fuerza de atracción que jala el dieléctrico entre las placas del capacitor y esto toma energía del$\frac{1}{2}CV^2$ecuación.

Si quitaste el dieléctrico, se requiere una fuerza mecánica y esto devuelve la energía a lo que era antes. Entonces, si la capacitancia se duplica, el voltaje del terminal se reducirá a la mitad, reteniendo la carga como una constante.

Editar saludos OP cambiando pregunta

¿Qué sucede si mi gorra está conectada a una fuente de voltaje constante? ¿No permanecería constante el voltaje a través de la tapa?

Sí, permanecería constante e insertar el dieléctrico provocará que se tome un pico de corriente del voltaje constante aplicado, lo que resultará en una mayor energía almacenada en el capacitor modificado. Esa mayor energía se debe a que la capacitancia aumenta debido a la inserción del dieléctrico.

No te estás perdiendo nada aquí. La energía cambiará si cambia el dieléctrico y "mantiene todo lo demás constante".

Sin embargo, su declaración ... manteniendo todas las demás variables constantes ... es un poco vaga. Cambiar el dieléctrico cambiará la capacitancia, no hay otra forma de evitarlo que no sea cambiar las dimensiones del capacitor, lo que nuevamente viola la regla de "mantener constantes todas las demás variables".

En cambio, creo que deberías pensar en "No cambies nada más". Es decir, los parámetros pueden cambiar, pero no por ninguna otra energía introducida.

Entonces, digamos que tenemos un capacitor 1F aislado previamente cambiado con 1 Coulomb.

Sabemos...

$V = Q/C = 1/1 = 1V$

y$E = 0.5 * C * V^2 = 0.5 * Q * V = 0.5 * 1 * 1 = 0.5 Joules$

Ahora dupliquemos la permitividad del dieléctrico.

Ahora tenemos un condensador de 2F, pero los electrones no se movieron, por lo que la carga sigue siendo de 1 Coulomb.

y ahora..

$V = Q/C = 1/2 = 0.5V$

y$E = 0.5 * C * V^2 = 0.5 * Q * V = 0.5 * 1 * 0.5 = 0.25 Joules$

Así es, aparentemente solo "perdimos" la mitad de la energía.

Pero, ¿qué pasa con la Ley de Conservación de la Energía?

Ok, probablemente estés gritando que es imposible debido a las leyes de conservación de la energía. Sin embargo, aquí estamos hablando de energía potencial. La energía potencial es relativa y depende del espacio. Si cambias el espacio, el valor de la energía cambia. No va a ninguna parte, simplemente es un punto de vista diferente.

Si tienes un tanque alto de agua, la energía potencial del agua es

$E=1/2 * grA * h^2$

donde:
g = aceleración gravitacional
A = área de la superficie del agua
r = densidad del agua
h = altura del agua

¿Te parece vagamente familiar? Debería.

Si cambias g, cambias la energía. Pero no tocaste el tanque ni su contenido. Lo mismo ocurre con un capacitor, cambiar el dieléctrico cambia efectivamente la "gravedad" eléctrica entre las placas. La energía potencial ahora es diferente.

La conservación de la energía no se aplica en estas situaciones.

Según la Ley de Conservación de la Energía , y, en concreto, el teorema de Noether.

"Los sistemas que no son invariantes ante cambios en el tiempo (un ejemplo, sistemas con energía potencial dependiente del tiempo) no muestran conservación de la energía".

En este caso ya que cambiamos el dieléctrico en el momento$T_0$la energía del sistema depende del tiempo.

Si se quiere, no es que la energía haya desaparecido, sino que se ha reducido la energía "potencial" que puede generar.

De su EDITAR:

De acuerdo, si desea mantener el capacitor a un voltaje constante, ¿qué sucederá?

Fluirá suficiente corriente en el capacitor para mantener el voltaje y la nueva carga final en nuestro capacitor ahora duplicado también se duplicará a 2 culombios.

y la energía será

$E = 0.5 * C * V^2 = 0.5 * Q * V = 0.5 * 2 * 1 = 1Joules$

Entonces ahora la Energía vuelve a ser la que teníamos antes, pero la carga cambia.

O para decirlo de otra manera, el suministro de voltaje agregará otro medio Joule para que vuelva al voltaje original.

NOTA: Lo anterior también explica lo que sucede con la otra paradoja del capacitor donde descarga un capacitor en un capacitor idéntico y aparentemente "pierde" la mitad de la energía. La diferencia es que, en lugar de cambiar la constante dieléctrica, duplicó el área del capacitor.

cuando el dieléctrico se asienta en el campo eléctrico entre dos placas de capacitores, se alinean con sus cargas apuntando en dirección opuesta al campo, lo que efectivamente reduce la intensidad del campo. La reducción en la intensidad del campo reduce el potencial en las placas y, como antes, aumenta su capacitancia. Y así, la capacidad de almacenamiento de energía aumenta con el aumento de la constante dieléctrica.

                          E=-dV/d

                          C=Q/V C= AE0/d

E0: constante dieléctrica E: intensidad del campo eléctrico d: distancia entre las dos placas del condensador Q: carga en culombios V: potencial en voltios A: área de la placa capacitiva

Figura 1. (a) Sin dieléctrico. (b) Con dieléctrico.

Si insertar un dieléctrico tiene el efecto de reducir la magnitud del campo eléctrico en un capacitor...

Estoy leyendo su pregunta y las diversas respuestas y me pregunto si se ha perdido algo básico. La Figura 1a muestra el capacitor sin el dieléctrico. V está generando el campo eléctrico a través del espacio. Mientras tanto, la Figura 1b muestra que con el dieléctrico insertado, el voltaje se divide en dos, pero la brecha se reduce drásticamente.

Desde$E = \frac {V}{d}$la intensidad del campo eléctrico aumenta cuando se inserta el dieléctrico.