¡Confusión con respecto al movimiento de rotación!

Creo que esto debería ayudar a aclarar las cosas. Suponga que toma una barra en reposo y aplica una fuerza$F$perpendicular a la varilla a una distancia$r$lejos de su centro de masa por un corto tiempo$\delta t$- suficientemente corto para que la orientación de la varilla no cambie mucho durante el tiempo que se aplica la fuerza. El momento lineal de la barra será

$$F\delta t$$ (de $F = \mathrm{d}p/\mathrm{d}t$) y su momento angular será aproximadamente $$rF\delta t$$ (de $\tau = rF\sin\theta = \mathrm{d}L/\mathrm{d}t$).

A continuación, puede calcular la energía cinética de la barra después de este proceso:

$$K = K_\text{lin} + K_\text{rot} = \frac{p^2}{2m} + \frac{L^2}{2I} = \frac{F^2 \delta t^2}{2m} + \frac{r^2 F^2 \delta t^2}{2mL^2/12} = \frac{F^2 \delta t^2}{2m} + \frac{6r^2F^2}{mL^2}\delta t^2\tag{1}$$

dónde$L$es la longitud de la varilla. Si golpeas la barra lejos del centro de masa, adquiere más energía.

Ahora, ¿por qué es eso? Bueno, pensemos en lo que sucede si consideramos el hecho de que la orientación de la barra cambia a medida que se le aplica la fuerza, si la fuerza está descentrada. Sabemos que la barra adquiere un momento angular$rF\delta t$a tiempo$\delta t$, que corresponde a la velocidad angular

$$\omega = \frac{L}{I} = \frac{rF\delta t}{mL^2/12} = \frac{12rF}{mL^2}\delta t$$

Suponiendo que el par es constante, la aceleración angular también será constante,

$$\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{12rF}{mL^2}$$

y para una aceleración angular constante podemos calcular el desplazamiento angular total como

$$\Delta \phi = \frac{1}{2}\alpha\Delta t^2 = \frac{6rF}{mL^2}\delta t^2$$

El desplazamiento lineal correspondiente a este desplazamiento angular es justo

$$r\Delta\phi = \frac{6r^2 F}{mL^2}\delta t^2$$

lo que significa que cuando aplica la fuerza fuera del centro, el punto en el que está aplicando la fuerza se mueve$\frac{6r^2 F}{mL^2}\delta t^2$más lejos que cuando aplicas la fuerza en el centro. (Nota: esto es cero cuando$r=0$, como debería ser.)

El trabajo es fuerza por distancia, cuando la fuerza es constante, por lo que esto significa que la fuerza fuera del centro realiza una pequeña cantidad de trabajo adicional en relación con la fuerza en el centro debido a la mayor distancia:

$$W = \frac{6r^2 F^2}{mL^2}\delta t^2$$

que es exactamente igual a la cantidad extra de energía que adquiere la barra cuando aplicas la fuerza fuera del centro, de la ecuación (1). Este es el origen de esa energía extra: la distancia extra que recorre el punto de aplicación de la fuerza.

Voy a poner un ejemplo, para dejar las cosas claras.

Tome un sistema de dos cuerpos, en el que las partículas están separadas por una distancia constante$d$y tener masa$m_1 = m_2 = m$. Esta es una restricción holonómica , ya que

$$| \vec{r}_1 - \vec{r}_2 | = d$$ con las posiciones de partículas $\vec{r}_1$y $\vec{r}_2$. Este sistema se reduce por tanto a 5 grados de libertad (6 menos 1). Supongamos que queremos ver este sistema cuando inicialmente está en reposo y las fuerzas externas aplicadas siempre apuntarán perpendiculares al eje de rotación. Esto significa que el movimiento del sistema estará restringido a un plano. Tomemos un sistema de coordenadas tal que este movimiento esté en el plano xy.

Tenemos por lo tanto 3 grados de libertad efectivos (4 menos 1 restricción). Se permite elegir variables independientes arbitrarias$q_j$correspondientes a estos grados de libertad.

Llevar$q_1 := x$la coordenada x del centro de masa,$q_2 := y$la coordenada y y$q_3 := \phi$el ángulo de rotación del vector que une las dos partículas en relación con el eje x

$$\cos\phi = \frac{\vec{d}\cdot\vec{e}_x}{d}$$ con $\vec{d} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2$y $\vec{e}_x$el vector de base unitaria que apunta a lo largo del eje x. Entonces nosotros tenemos: $$\begin{align} \vec{r}_1 & = \underbrace{\left( \matrix{x\\y} \right)}_{:=\vec{r}_c} + \underbrace{\frac{d}{2} \cdot \left( \matrix{\cos\phi \\ \sin\phi} \right)}_{=\vec{d}/2} \\ \\ \vec{r}_2 & = \left( \matrix{x\\y} \right) - \frac{d}{2} \cdot \left( \matrix{\cos\phi \\ \sin\phi} \right) \end{align}$$

Las ecuaciones de movimiento están dadas por el principio de d'Alembert , que establece que las fuerzas internas de las restricciones no realizan un trabajo neto sobre el cuerpo:

$$\sum_{i=1}^2 \left( m_i \frac{d^2\vec{r}_i}{dt^2} - \vec{F}_{i,\text{ext}} \right) \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_j} = 0$$ que da por cada $j=1,2,3$una ecuación de movimiento. Para $q_1 = x$tenemos: $$\begin{align} & \sum_{i=1}^2 \left( m_i \frac{d^2\vec{r}_i}{dt^2} - \vec{F}_{i,\text{ext}} \right) \cdot \left( \matrix{1\\0} \right) = \left( \sum_{i=1}^2 \left( m_i \frac{d^2\vec{r}_i}{dt^2} - \vec{F}_{i,\text{ext}} \right) \right) \cdot \left( \matrix{1\\0} \right) \\ & = \left( m \frac{d^2\vec{r}_c}{dt^2} - \vec{F}_{1,\text{ext}} + m \frac{d^2\vec{r}_c}{dt^2} - \vec{F}_{2,\text{ext}} + m \frac{d^2(\vec{d}/2)}{dt^2} - m \frac{d^2(\vec{d}/2)}{dt^2} \right) \cdot \left( \matrix{1\\0} \right) \\ & = \left( 2m \frac{d^2\vec{r}_c}{dt^2} - \vec{F}_{1,\text{ext}} - \vec{F}_{2,\text{ext}} \right) \cdot \left( \matrix{1\\0} \right) = 0 \end{align}$$

y similares para$q_2 = y$:

$$\left( 2m \frac{d^2\vec{r}_c}{dt^2} - \vec{F}_{1,\text{ext}} - \vec{F}_{2,\text{ext}} \right) \cdot \left( \matrix{0\\1} \right) = 0$$

O de manera equivalente para acordar para ambas ecuaciones:

$$M \frac{d^2\vec{r}_c}{dt^2} = \sum_i \vec{F}_{i,\text{ext}} \tag1$$

la ecuación de movimiento del centro de masa$\vec{r}_c$con$M = 2m$. Esto muestra que el movimiento del centro de masa no se ve afectado por el punto en el que se aplica la fuerza (p. ej.$\vec{F}_{1,\text{ext}} = \vec{F}_0$y$\vec{F}_{2,\text{ext}} = 0$conduce al mismo movimiento que$\vec{F}_{1,\text{ext}} = 0$y$\vec{F}_{2,\text{ext}} = \vec{F}_0$). El centro de masa se mueve de acuerdo con las fuerzas externas que se aplican. Este es un resultado general, que por ejemplo fue respondido aquí:

Ecuación de movimiento para el centro de masa de un cuerpo rígido

Ahora tomemos la última ecuación para$q_3 = \phi$:

$$\begin{align} & \left( m \frac{d^2\vec{r}_c}{dt^2} + m \frac{d^2(\vec{d}/2)}{dt^2} - \vec{F}_{1,\text{ext}} \right) \cdot \left( \matrix{-\sin\phi \\ \cos\phi} \right) \\ & + \left( m \frac{d^2\vec{r}_c}{dt^2} - m \frac{d^2(\vec{d}/2)}{dt^2} - \vec{F}_{2,\text{ext}} \right) \cdot \left( \matrix{\sin\phi \\ -\cos\phi} \right) \\ & = \left( m \frac{d^2(\vec{d})}{dt^2} - \vec{F}_{1,\text{ext}} + \vec{F}_{2,\text{ext}} \right) \cdot \left( \matrix{-\sin\phi \\ \cos\phi} \right) = 0 \end{align}$$ esto es independiente de $\vec{r}_c$y por lo tanto una ecuación diferencial pura para $\phi$, que describe el movimiento de rotación. Vemos que, la rotación alrededor del centro de masa es independiente de su movimiento lineal , en el sentido de que puede describirse mediante ecuaciones que ignoran el movimiento del centro de masa. Se puede expresar que en términos de par y momento angular $\vec{L}_r$relativo al centro de masa $$\frac{d \vec{L}_r}{dt} = \sum_i \vec{d}_i \times \vec{F}_{i,\text{ext}} \tag2$$ con $\vec{L}_r = \Theta \cdot \vec{\omega}$y $\Theta$el tensor de inercia y $\vec{\omega}$la velocidad angular (por ejemplo $\frac{d\phi}{dt}$en el ejemplo anterior) en el centro de masa y $d_i$las distancias a ella.

Con respecto a su problema de energía, lo remito a la última sección de esta respuesta:

https://física.stackexchange.com/a/174208/75518

o piénselo así: el trabajo se define por la integral de ruta$\int \vec{F} \cdot d\vec{r}$o para un sistema rígido de muchos cuerpos, ya que el trabajo neto de las fuerzas internas es cero:

$$\begin{align} \sum_i \int \vec{F}_{i,\text{ext}} \cdot d\vec{r}_i & = \sum_i \int \vec{F}_{i,\text{ext}} \cdot \frac{d\vec{r}_i}{dt} dt \\ & = \int \sum_i \left( \vec{F}_{i,\text{ext}} \cdot \frac{d (\vec{r}_c + \vec{r}_{i,\text{rot}})}{dt} \right) dt \\ & = \int \left( \sum_i\vec{F}_{i,\text{ext}} \right) \cdot \vec{v}_c~dt + \int \left( \sum_i\vec{F}_{i,\text{ext}} \cdot \vec{v}_{i,\text{rot}} \right)~dt \tag3 \end{align}$$ donde hemos dividido el movimiento de una partícula en el movimiento lineal del centro de masa, que todas las partículas comparten, más el movimiento de rotación. En el ejemplo anterior esto es $\vec{r}_{i,\text{rot}} = \pm \frac{\vec{d}}{2}$. Como puedes ver, el primer término corresponde al trabajo realizado en el centro de masa, mientras que el segundo corresponde al trabajo realizado para dejar girar el sistema. Es este desplazamiento extra $d \vec{r}_{i,\text{rot}}$que viene con la rotación, que hace que el sistema gane más energía cinética en la misma cantidad de tiempo de una fuerza dada de igual magnitud.

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Conclusiones:

• "¿Seguirá acelerando el cuerpo tanto como lo hizo cuando se aplicó F sobre C?" $\rightarrow$sí, la aceleración del centro de masa es la misma (ver ecuación (1) )
• "Si es así, ¿por qué?" $\rightarrow$porque el movimiento del centro de masa es independiente del punto donde se aplican las fuerzas. Solo importa la fuerza neta (ver ecuación (1) )
• "¿Cómo puede girar y, sin embargo, acelerar con la misma velocidad que sin rotación?" $\rightarrow$porque esos dos movimientos son independientes el uno del otro
• "¿De dónde obtiene esta energía extra?" $\rightarrow$última sección de https://physics.stackexchange.com/a/174208/75518 o vea la ecuación (3)
• "¿Cómo puedo calcular las velocidades respectivas de movimiento lineal y angular dadas F y t?" $\rightarrow$resolver las ecuaciones (1) y (2) para fuerzas específicas.

Nota: Sin embargo, un impacto en un cuerpo rígido es una situación totalmente diferente. Ver esto: Colisión elástica de partícula puntual y varilla.

La aceleración del centro de masa siempre es$F/m$, por lo que si la fuerza y ​​la masa son iguales, el centro de masa acelerará de la misma manera, independientemente del punto donde actúe la fuerza.

Después del mismo tiempo de experimentar la misma fuerza, el cuerpo en el caso giratorio tiene mayor energía cinética que en el caso no giratorio. Esto se debe a un mayor trabajo realizado por la misma fuerza en el caso de rotación: la fuerza es la misma, pero la velocidad del punto que experimenta la fuerza es mayor debido a la rotación.