Confinamiento magnético en un tokamak

Descripción general

Hay enfoques estándar para responder a esta pregunta que, en mi opinión, no satisfacen a los interesados ​​en los detalles cuantitativos. Entonces, a continuación, explicaré las implicaciones del campo magnético poloidal utilizando soluciones explícitas de las ecuaciones de movimiento de una sola partícula, seguidas de gráficas de estas soluciones.

El movimiento de una partícula en un campo toroidal se compone de (1) una órbita circular rápida de la partícula alrededor del campo magnético junto con (2) un movimiento paralelo lento y un movimiento de deriva del centro de la órbita circular en (1). El movimiento (1) se llama movimiento giratorio y el movimiento (2) se llama paralelo más deriva . Así, en (2), estamos hablando del movimiento del girocentro . La noción de movimiento del girocentro es fundamental para la teoría del transporte de plasma y es la base tanto de la teoría neoclásica como de la girocinética. Simbólicamente, el movimiento del girocentro se escribe como

$$\mathbf{v} = v_\parallel \mathbf{b} + \mathbf{v}_d \; ,$$

donde$v_\parallel = v_\parallel(\theta)$es la velocidad paralela ,$\mathbf{b} = \mathbf{B}/B$es un vector unitario en la dirección del campo magnético$\mathbf{B}$, y$B = B(\theta)$es la intensidad del campo magnético . También,$\mathbf{v}_d$es la velocidad de deriva . La velocidad de deriva se discute hasta la saciedad en otro lugar, por lo que solo escribiremos la deriva radial sin una derivación.

movimiento del girocentro

Las ecuaciones para el movimiento del girocentro son bien conocidas, pero para un tokamak con forma arbitraria son complicadas. Sin embargo, si la sección transversal del tokamak es circular y la relación de aspecto$R/r \gg 1$(aquí,$R$es el radio mayor y$r$es el radio menor), entonces la ecuación es relativamente simple. En este límite, las ecuaciones de movimiento son

$$\begin{align} \frac{d\varphi}{dt} \simeq &~ v_\parallel \mathbf{b} \cdot \mathbf{e}_\varphi = \frac{v_\parallel}{R_0} \quad \text{(toroidal direction)} \\ \frac{d\theta}{dt} \simeq &~v_\parallel \mathbf{b} \cdot \mathbf{e}_\theta =\frac{v_\parallel}{q R_0} \quad \text{(poloidal direction)} \\ \frac{dr}{dt} \simeq &~ \mathbf{v}_d \cdot \mathbf{e}_r =-\frac{v_\parallel^2+\mu B}{\Omega R_0} \sin\theta \quad \text{(radial direction)} \end{align}$$

Estoy usando el hecho de que$v_\parallel \gg v_d$para mantener estas ecuaciones tan simples como sea posible. Tenga en cuenta que la energía (sobre la masa)$\varepsilon = v^2/2$y momento magnético$\mu = v_\perp^2/2B$son cantidades conservadas (constantes a lo largo de una órbita). También,$\Omega$es la girofrecuencia que depende de la masa de la partícula (de lo contrario, no hay una dependencia explícita de la masa). Finalmente, el factor de seguridad ($q$) es la relación de campos

$$q \simeq \frac{r B_\varphi}{R B_\theta}$$

Esto implica que en el límite de ningún campo poloidal,$q \rightarrow \infty$. Una propiedad interesante de estas órbitas es que, para algunos valores de parámetros, las órbitas quedan atrapadas, con una forma característica de plátano, en el plano poloidal. Estas órbitas de plátano se ilustran a continuación.

Ecuaciones aptas para programar

Tal como están escritos, son aproximados pero brindan una gran cantidad de información sobre el funcionamiento de un tokamak. Sin embargo, todavía no están del todo en una forma útil. Según la teoría del equilibrio del plasma, la intensidad del campo magnético se puede escribir como

$$B(\theta) = B_0 \left( 1-\epsilon \cos \theta\right) = B_0 G(\theta)$$

donde$\epsilon = r/R \ll 1$.

$$\begin{align} \frac{d\varphi}{d\tau} = &~ \pm \sqrt{1-\lambda G} \\ \frac{d\theta}{d\tau} = &~\pm \frac{1}{q}\sqrt{1-\lambda G} \\ \frac{dr}{d\tau} = &~ -\rho \left( 1-\lambda G/2\right) \sin\theta \end{align}$$

donde$\tau = vt/R$es el tiempo de tránsito y$\rho = v/\Omega$es el radio de giro, y$\lambda = \mu B_0/\varepsilon$es un parámetro. Se debe tener cuidado para seleccionar el signo correcto de la raíz cuadrada para las órbitas de partículas atrapadas.

$$\begin{align} \text{Passing particles} \quad 0 < \lambda < \frac{1}{1+\epsilon} \\ \text{Trapped particles} \quad \frac{1}{1+\epsilon} < \lambda < \frac{1}{1-\epsilon} \end{align}$$

Ejemplos de órbitas de paso y banana

Entorno$r(0)=0.7$,$\rho=0.01$y$\epsilon=0.2$, podemos trazar las formas de las órbitas en el plano$\varphi=0$(el llamado plano poloidal ). Nótese que, según los resultados del apartado anterior, las partículas con$\lambda < 0.0833$están pasando y$0.833 < \lambda < 1.25$están atrapados. En las parcelas, el contorno$r=1$representa el límite del plasma . Por lo tanto, hemos elegido el radio menor del plasma como unidad de longitud. Los resultados ilustran tanto las órbitas circulares (de paso) como las órbitas atrapadas (plátano).

Límite de paso simple

Cuándo$\lambda \ll 1$, las partículas pasan con una ecuación de órbita simple

$$\begin{align} \frac{d\theta}{d\tau} = &~ \frac{1}{q} \\ \frac{dr}{d\tau} = &~ -\rho \sin\theta \end{align}$$

La resolución de estas ecuaciones da la forma paramétrica de una órbita simple de partículas que pasan con un ancho de órbita $q\rho$:

$$r(\theta) = r(\pi/2) + q \rho \cos(\theta)$$

Esto reafirma el conocido resultado de que el ancho de la órbita es mayor que el radio de giro por un factor de$q$. En un tokamak, normalmente tenemos$1 < q < 4$.

Pérdida de confinamiento

Considere el límite de paso descrito en la sección anterior, para el cual la órbita con es$q\rho$. Evidentemente, cuando$q\rho > 1$, la órbita es más grande que el plasma y se perderá cuando cruce este límite. Por lo tanto, un campo poloidal no solo debe existir, sino que debe ser lo suficientemente fuerte para asegurar$q\rho \ll 1$.

Es correcto que una geometría con un campo magnético puramente toroidal (es decir, donde las líneas de campo no están torcidas) no da como resultado el confinamiento. Estos dispositivos a veces se denominan toros magnetizados simples . El problema es la intensidad variable del campo magnético a lo largo de la sección transversal del toro tal como lo describió, lo que resulta en derivas de electrones e iones en direcciones opuestas (hacia arriba y hacia abajo).

Estos movimientos de deriva dan como resultado un campo eléctrico vertical y eso da como resultado una$E\times B$deriva cuya dirección es independiente de la carga. Para un campo E puramente vertical y un campo B puramente toroidal, la deriva es a lo largo de la coordenada radial y se pierde el plasma. Sin confinamiento.

Puede superar esto retorciendo las líneas del campo magnético, como lo mencionó. La idea es simple: las partículas cargadas pueden moverse libremente a lo largo de las líneas del campo magnético. Piensa en una línea de campo retorcida que conecta una región en la mitad superior del toro y una región en la mitad inferior. Recuerde que existe una diferencia de potencial entre estas dos regiones (como se acaba de explicar y como también lo explicó usted). Debido a la conexión por la línea de campo, esta diferencia de potencial simplemente se aniquila, los electrones fluyen hacia el campo positivo y los iones hacia el negativo (las corrientes correspondientes se denominan corrientes de Pfirsch-Schlüter ).

El campo eléctrico ya no existe, no$E\times B$deriva, sin pérdidas de plasma (al menos no debido a este mecanismo) y tenemos un buen dispositivo de confinamiento toroidal como un tokamak.

Las respuestas de Alf y jcandy ya están completas; solo quiero agregar una respuesta breve usando las cantidades conservadas del movimiento de una sola partícula.

El lagrangiano de una sola partícula es independiente del ángulo toroidal ($\phi$) debido a la periodicidad toroidal del campo helicoidal, es decir, simetría toroidal. Esto da lugar al momento angular toroidal conservado

$$\begin{equation} p_{\mathrm{can}} = (m v_{\phi} - q A_{\phi})R \approx m v_{\parallel} R - q \psi = \rm{constant}\,, \end{equation}$$ donde$\psi$es el flujo magnético poloidal debido al campo magnético poloidal. La energía conservada es $$\begin{equation} E=\frac{1}{2} m v_{\parallel}^2 + \mu B=\mathrm{constant}\,. \end{equation}$$ Desde el momento magnético$\mu$en la ecuación de energía anterior es un invariante adiabático,$v_{\parallel}$está ligado. Como resultado, el flujo magnético poloidal$\psi$también está limitada por la conservación del momento angular. Por lo tanto, el movimiento de una partícula está confinado a regiones de cierto flujo magnético poloidal, por lo que la componente poloidal del campo magnético resuelve el problema del confinamiento. En un tokamak, el campo poloidal es creado por la corriente de plasma toroidal, mientras que en un stellarator, tanto el campo poloidal como el toroidal son alimentados por corrientes externas.

Esta descripción se encuentra (junto con una buena explicación de las derivas) en el artículo de de Blank sobre el movimiento del centro guía .