Computronio y dilatación del tiempo y límite de Bremermann

Supongamos una bola de computronio con densidad constante$\rho$y radio$R$, donde la cantidad total de cálculos por segundo si ignoramos la gravedad es proporcional a la masa total,$C\propto M$.

La forma simple de calcular una estimación es asumir que todo está en el mismo potencial gravitatorio. Esto es incorrecto ya que las partes internas de una esfera pesada experimentarán una mayor dilatación del tiempo; por eso el núcleo de la Tierra es unos años más joven que la superficie . Aún así, como primera aproximación podemos usar la fórmula de dilatación del tiempo gravitacional

$$\omega(r)=\omega_0 \sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}$$ dónde $\omega_0$es la tasa de tiempo en el infinito y $r$la ubicación del reloj. Si solo usamos la tasa de superficie, el número total de cálculos por tick visto por el infinito será $\propto \omega(R)M = \omega_0 \sqrt{M^2-\frac{2GM^3}{c^2R}}$y si nos enchufamos $M=4\pi\rho R^3/3$(esto es nuevamente un poco fuera de lugar, ya que el volumen en el radio $R$en un espacio-tiempo curvo no es lo mismo que en un espacio plano) obtenemos $$\omega_0 \sqrt{(4\pi/3)^2 R^6\rho^2-\left(\frac{16G \pi^3}{27c^2}\right ) R^8\rho^3}$$ Esta expresión tiene un máximo para un determinado $R$o $\rho$. En particular, para tamaño constante esto es $\rho=2c^2/ G\pi R^2$, o por $R=1$metro $\approx 8.5729\times 10^{26}$kg/m2 $^3$(si he hecho bien el álgebra). No muy lejos de la estimación aproximada de la pregunta original. También se podría llegar a esto a través del análisis dimensional. Tenga en cuenta, sin embargo, que este valor depende de $R$: no hay nada fundamental al respecto, ya que si desea un valor mayor o menor, puede seleccionar un valor diferente $R$.

Ahora, podemos hacer lo mismo con más detalle integrando cuidadosamente las contribuciones computacionales de diferentes capas (1) usando la fórmula de dilatación del tiempo e integrales de volumen que toman en cuenta los volúmenes reales, o (2) haciendo la integración hardcore para un solución interior con densidad constante . Ese podría ser un proyecto de buenas noches, pero es bastante claro cualitativamente que habrá una densidad o radio máximo de salida computacional de computronio. Al principio debe aumentar como$\propto R^3$pero eventualmente comienza a nivelarse y disminuir a cero a medida que nos acercamos al agujero negro o al límite de Buchdahl.

No creo que este sea el mismo tipo de límite fundamental que los otros enumerados, pero corresponde a una curva óptima en$(R,\rho)$espacio que presumiblemente cumple con los otros límites en puntos interesantes.