Comprensión intuitiva del punto de Lagrange L3

Lo que pasa con los puntos de Lagrange es que siempre hay dos formas de ver el sistema.

Método 1: El Marco Inercial. Colóquese "sobre" el Sistema Solar, mirando hacia abajo a los objetos que se mueven en elipses. Aquí la fuerza de gravedad es la única fuerza. La Tierra no choca contra el Sol porque la constante aceleración interna simplemente curva su camino en una elipse. Es decir, cuando tiene en cuenta tanto su aceleración como su velocidad , las dos se combinan para hacer que orbite en lugar de caer directamente radialmente. De manera similar, los puntos de Lagrange son puntos en movimiento tales que sus velocidades y las aceleraciones en ellos conducen a órbitas. Recuerde que con velocidades angulares iguales, los puntos más alejados del baricentro tienen velocidades tangenciales lineales más grandes, y L3 está más lejos del baricentro que la Tierra cuando está en ese lado del Sol.

Método 2: El Marco Comoving. Ahora comience a girar su cámara de modo que siga el movimiento de la Tierra. Está anclado a un punto directamente sobre el baricentro del sistema. Despreciando la excentricidad, la Tierra y el Sol aparecen en reposo en este marco. La gravedad aún los atrae directamente uno hacia el otro, pero en este marco no inercial hay una fuerza centrífuga que equilibra exactamente la gravedad. De manera similar, en cualquiera de los 5 puntos de Lagrange, la gravedad combinada de la Tierra y el Sol en el punto se equilibra con la fuerza centrífuga que experimenta ese punto. En el punto medio de Lagrange, los dos efectos gravitatorios se oponen y no hay mucha fuerza centrífuga. En los dos puntos exteriores, los dos efectos gravitatorios trabajan juntos; sin embargo, estos puntos están más alejados del baricentro y, por lo tanto, experimentan una fuerza centrífuga mayor.

Todo sale bien al final. El error está en despreciar la velocidad tangencial en el primer cuadro o en despreciar la fuerza centrífuga en el segundo cuadro.

Un objeto en L ₃ orbita alrededor del Sol a través de exactamente los mismos mecanismos que la Tierra: siente la atracción gravitacional del Sol, y esta es exactamente la fuerza centrípeta que necesita para realizar un movimiento circular uniforme alrededor del Sol.

El pequeño problema, como señalas, es que también necesita lidiar con la gravedad de la Tierra, que en L ₃ también lo atrae hacia el Sol. Esta es la razón por la que L ₃ está ligeramente fuera de la órbita de la Tierra, lo que disminuye ambas fuerzas gravitatorias hasta el punto en que coinciden con la atracción del Sol sobre la Tierra.

No es difícil hacer los cálculos para ello. Supongamos que L ₃ está en el radio$r$desde el baricentro, con la Tierra en el radio$R$. Por lo tanto, el Sol orbitará el baricentro en el radio$(m/M)R$, dónde$m/M$es la relación entre la masa de la Tierra y la del Sol; en la práctica, el baricentro está bien adentro del Sol. Preguntando por la aceleración gravitacional en L ₃ para que coincida con la de la Tierra, entonces se lee como

$$\frac{M}{(r-\tfrac mM R)^2}+\frac{m}{(r+R)^2}=\frac{M}{(R+\tfrac mM R)^2}.$$ Esto se puede resolver para $r$pero es muy desordenado. Una cosa que puedes hacer en su lugar es linealizar esta ecuación con respecto a $m/M$y $(r-R)/R$, con la expectativa de que sean pequeños para el sistema Tierra-Sol. Hacer eso da un valor de

$$r\approx\left(1+\frac{17}{8}\frac mM\right)R,$$

que de hecho es un poco más grande que$R$, aproximadamente el doble$m/M$, que para el sistema Tierra-Sol es sólo unas 6 partes en 10 ⁶ .