Cómo traducir del espectro CMB Power a un espectro de variaciones de temperatura

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Cómo traducir del espectro CMB Power a un espectro de variaciones de temperatura

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ProfRob

El espectro de potencia angular de las microondas cósmicas es la cantidad representada con más frecuencia cuando se habla de estructura en el CMB.

Pero, ¿cómo se relaciona realmente esta cantidad con las fluctuaciones de temperatura rms en el CMB en función de la escala angular? He visto uno o dos diagramas en la web que muestran $\langle(\Delta T)^2\rangle$ en función de la escala angular, y una o dos afirmaciones vagas sobre $l(l+1)C_l$ proporcional a la variación de temperatura.

¿Alguien puede recopilar una declaración definitiva sobre cómo se conectan el espectro de potencia habitual y las variaciones de temperatura?

Fotón

Afaik, no hay camino corto. El cálculo completo se presenta en "Fundamentos físicos de la cosmología" de V. Mukhanov, Capítulo 9. Es un cálculo largo y, para ser honesto, nunca tuve el coraje de leerlo, pero después de una mirada rápida parece presentar todos los pasos necesarios para establecer el vínculo entre la temperatura y las fluctuaciones de densidad/potencial, y también se ocupa del espectro de potencia de la anisotropía de temperatura.

Respuestas (2)

Cómo traducir del espectro CMB Power a un espectro de variaciones de temperatura

Afaik, no hay camino corto. El cálculo completo se presenta en "Fundamentos físicos de la cosmología" de V. Mukhanov, Capítulo 9. Es un cálculo largo y, para ser honesto, nunca tuve el coraje de leerlo, pero después de una mirada rápida parece presentar todos los pasos necesarios para establecer el vínculo entre la temperatura y las fluctuaciones de densidad/potencial, y también se ocupa del espectro de potencia de la anisotropía de temperatura.

caverna · Answer 1

Considere una dirección $(\theta, \phi) = \hat{n}$ , ajustando la ley de Planck a la densidad de radiación se obtiene la temperatura $T(\hat{n})$ . Definir la cantidad

\begin{matrix} (1) & d (\hat{norte}) = \frac{T (\hat{norte}) - \bar{T}}{\bar{T}} = \frac{Δ T (\hat{norte})}{\bar{T}} \end{matrix}

$\delta(\hat{n}) = \frac{T(\hat{n}) - \bar{T}}{\bar{T}} = \frac{\Delta T(\hat{n})}{\bar{T}} \tag{1}\label{1}$

Siempre es posible expandir la Ec. $\ref{1}$ en armónicos esféricos

\begin{matrix} (2) & d (\hat{norte}) = \sum_{yo metro} a_{yo metro} Y_{yo metro} (θ, ϕ) \end{matrix}

$\delta(\hat{n}) = \sum_{lm}a_{lm}Y_{lm}(\theta,\phi) \tag{2}\label{2}$

si piensas en $\delta$ como un proceso aleatorio, puede calcular cosas como la función de autocorrelación de las fluctuaciones de temperatura

\begin{matrix} (3) & C (θ) = ⟨ d ({\hat{norte}}_{1}) d ({\hat{norte}}_{2}) ⟩, con porque θ = ⟨ {\hat{norte}}_{1} | {\hat{norte}}_{2} ⟩ \end{matrix}

$C(\theta) = \langle \delta(\hat{n}_1) \delta(\hat{n}_2)\rangle, ~~~\mbox{with}~~~ \cos\theta = \langle \hat{n}_1| \hat{n}_2\rangle \tag{3}\label{3}$

No es difícil demostrar que

\begin{matrix} (4) & C (θ) = \frac{1}{4 π} \sum_{yo} (2 yo + 1) C_{yo} {PAG}_{yo} (porque θ), dónde C_{yo} = ⟨ | a_{yo metro} |^{2} ⟩ \end{matrix}

$C(\theta) = \frac{1}{4\pi} \sum_l(2l + 1) C_l P_l(\cos \theta), ~~~\mbox{where}~~~ C_l = \langle |a_{lm}|^2\rangle \tag{4}\label{4}$

y $P_l$ el polinomio de Legendre de grado $l$ . Tenga en cuenta la ecuación. $\ref{4}$ es solo un enlace entre $C_l$ y la autocorrelación del proceso aleatorio $\delta$ , de hecho la ortogonalidad de $P_l$ se puede usar para expresar $C_l$ como una función de $C(\theta)$ .

La ventaja de ir por esta ruta es que en el régimen lineal $\delta$ está relacionado con las perturbaciones de masa $\Delta$ , en efecto

d = \frac{1}{4} Δ

$\delta = \frac{1}{4}\Delta$

Y hay todo un formalismo para calcular $\Delta$ (Ver por ejemplo el Capítulo 3 de esta referencia ), por ejemplo, es posible mostrar que para escalas angulares, las perturbaciones de densidad que dan lugar a las fluctuaciones de temperatura tienen un número de onda $k \gg 2\pi a /ct_{\rm dec}$ ( $t_{\rm dec}$ = tiempo de desacoplamiento), y

C_{yo} \sim \frac{1}{yo (yo + 1)}

$C_l \sim \frac{1}{l(l + 1)}$

Saúl Aryeh Kohn · Answer 2

La forma en que encuentro más útil pensar en ello es que si dibujara círculos de diámetro $l$ en el CMB, ¿cuál sería la potencia promedio (al cuadrado $\Delta T$ ) dentro de esos círculos? El espectro de potencia de CMB nos dice que la mayor parte de la potencia está en escalas de grados (la mayor protuberancia), pero que hay contribuciones en escalas específicas (las protuberancias más pequeñas).

Cómo traducir del espectro CMB Power a un espectro de variaciones de temperatura

ProfRob

Fotón

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caverna

Saúl Aryeh Kohn

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