¿Cómo se relaciona la energía de una capa de electrones con la velocidad de los electrones en esa capa?

Su confusión surge de tratar de entender el electrón como una bola de billar clásica.

El electrón es una entidad mecánica cuántica, cuando está libre presenta una naturaleza dual, la de una partícula cuya ubicación está descrita por un determinado$(x,y,z,t)$y el de una onda de probabilidad.

En particular, un electrón atrapado en un pozo de potencial tiene su energía descrita por las soluciones de las ecuaciones mecánicas cuánticas. No está en una órbita alrededor del núcleo, está en un orbital y se entiende mejor como una onda de probabilidad:

Las formas de los primeros cinco orbitales atómicos:$1s, 2s, 2px, 2py$, y$2pz$. Los colores muestran la fase de la función de onda. Estos son gráficos de$\psi(x, y, z)$funciones que dependen de las coordenadas de un electrón.

la plaza de$\psi(x, y, z)$da la probabilidad de encontrar el electrón en ese punto del espacio.

Los cinco orbitales d en$\psi(x, y, z)**2$forma, con un diagrama de combinación que muestra cómo encajan para llenar el espacio alrededor de un núcleo atómico.

Estos son orbitales con mayor momento angular l=2

Entonces, la velocidad del electrón no tiene significado aquí. Son distribuciones de probabilidad mecánicas cuánticas puras. La energía de la capa define la cantidad de energía necesaria para expulsar al electrón de su orbital, con un fotón u otra interacción. Cuanto más bajo es el número cuántico n, más estrecha es la unión. Cuando está libre puede exhibir su naturaleza de partícula y tener una velocidad asignada.

en primer lugar, no debe hacer una analogía con una rueda ya que los electrones no están orbitando los núcleos con la misma velocidad angular. es más como satélites que orbitan alrededor de la tierra porque en ambos casos la fuerza es proporcional a$r^{-2}$. más lejos del satélite, tiene menos velocidad.
para comparar las energías de las capas, también debe considerar la energía potencial eléctrica, que es negativa. los electrones en las capas externas están "en promedio" más lejos de los núcleos, por lo que tienen menos energía negativa, lo que los hace tener energías más altas. aunque deberías usar la mecánica cuántica para calcular las energías correctamente, debería darte una idea de dónde vienen las energías más altas.
cuando decimos que "velocidad" es irrelevante en el contexto cuántico, no significa eso. puedes medir el momento del electrón en órbita y obtendrás un valor, pero el punto es que si repites el experimento probablemente obtendrás un valor diferente, hay algunas sutilezas al interpretar esta diferencia, pero de todos modos,
entonces, cuando desee considerar los efectos de la relatividad, mire este valor de velocidad promedio y compárelo con la velocidad de la luz. si fuera comparable, debería considerar los efectos de la relatividad.

Energía cinética$K$depende de la velocidad$v$como$K=\frac12mv^2$. La energía del electrón es la suma de su energía cinética.$K$(que es positivo,$K>0$) y su energía potencial$U$(que es negativo,$U<0$):

Una nube de electrones, es una zona de alta probabilidad . Si tiene un electrón orbitando un protón, la nube es un área donde es muy probable que encuentre un electrón. No puedes meter el dedo y sacar un electrón. La nube es solo un área donde es probable que se encuentre el electrón. Más sobre eso aquí .

El electrón(-carga) quiere estar lo más cerca posible del protón(+carga). Por lo tanto, se necesita más energía para tener una capa más grande que una más pequeña. De hecho, cuando un electrón cambia a una capa más baja, libera la energía que estaba reprimida alejándose del protón, en forma de luz.

Me gusta pensar en ello como una pelota de béisbol en la tierra. Si llevas la pelota de béisbol a una colina a 10 metros sobre el nivel del mar, tiene más energía potencial que una pelota de béisbol que llevas al nivel del mar. Si dejas caer la pelota de béisbol de un acantilado desde 10 m, cambia parte de la energía potencial en energía cinética y se acerca al nivel del mar.

Al igual que una pelota de béisbol, un fotón que cambia de capa convierte la energía potencial en luz, a medida que "cae" una distancia hacia el protón.

Si alguien atrapara su pelota de béisbol hipotética y la arrojara hacia atrás, ganaría energía potencial a medida que viajara hacia arriba. Del mismo modo, si un átomo absorbe energía en forma de calor o luz, los electrones en la nube ganarán energía potencial y se moverán "hacia arriba" alejándose del átomo.

Espero haber podido ayudar.