¿Cómo se puede entender con un ejemplo que la(s) ley(s) de Newton falla(n) en un espacio curvo?

La lente gravitatoria de la luz es probablemente el ejemplo más directo de una diferencia entre la gravedad newtoniana y la relatividad general que parecería llegar a la distinción que está tratando de ilustrar. También se puede ilustrar de manera muy compacta y convincente con una imagen de un Anillo de Einstein como la siguiente de Wikipedia tomada con el Telescopio Espacial Hubble.

Si entendí tu pregunta, afirmas que:

La primera ley de Newton no funciona en el espacio-tiempo curvo

Pero si ese es tu punto, creo que te equivocaste. En primer lugar, porque el ejemplo que cita está hablando de un espacio curvo y, por cierto, no de un espacio-tiempo curvo.

Así que aclaremos esto: las leyes de Newton son válidas en la Mecánica Clásica. Esto significa que para los cuerpos que no están en la escala atómica y que se mueven mucho más lento que la velocidad de la luz, no encontrarás nada malo con las leyes de Newton.

La inconsistencia entre la electrodinámica de Maxwell y la invariancia galileana de la mecánica llevó a Einstein a formular la relatividad especial y la noción de que el tiempo no es absoluto. Esto condujo más tarde a la idea de Spacetime de Minkowski.

En el límite de baja velocidad de la Relatividad Especial se recupera la Mecánica Newtoniana.

Ahora, había otra inconsistencia, relacionada con la gravedad. Una forma de pensarlo es que en la Mecánica Newtoniana la gravedad actúa instantáneamente mientras que la Relatividad Especial naturalmente impone una velocidad máxima para que un evento influya en otro: la de la luz.

Entonces, la teoría de la gravitación universal de Newton era inconsistente con la Relatividad Especial. Esto condujo a una reformulación de la teoría de la gravedad en el contexto relativista - Relatividad General.

El punto clave de la Relatividad General es este: la gravedad no es una fuerza, es una propiedad del espacio-tiempo .

Entonces uno generaliza la primera ley de Newton: en la mecánica newtoniana, en ausencia de fuerzas, las partículas se mueven en la trayectoria más recta posible (ya se puede ver que si la partícula está obligada a moverse sobre una superficie curva, no será una línea , ya que hay una restricción en el sistema. Sin embargo, seguirá una geodésica de la superficie: el camino más recto en la superficie).

Dado que ahora pensamos en la gravedad como una propiedad del espacio-tiempo, generalizamos esto como: las partículas que caen libremente (aquellas influenciadas solo por la gravedad y, por lo tanto, solo por el espacio-tiempo) siguen geodésicas en el espacio-tiempo. Y las geodésicas son los caminos más rectos posibles, pero ahora son a través del espacio-tiempo y no solo a través del espacio.

La Relatividad Especial es entonces el límite del campo gravitatorio débil de GR y la Mecánica Newtoniana es el límite de baja velocidad de SR y, por lo tanto, el límite de baja velocidad y campo gravitatorio débil de GR.

Entonces, no hay nada como refutar la ley de Newton. Se trata simplemente del dominio de validez de la teoría y la comprensión de que, en cierto sentido, la primera ley de Newton se transfiere a GR con importantes adaptaciones, obviamente.

Creo que aquí hay un pequeño malentendido. No es que la ley de Newton (de la gravitación) no se aplique en superficies curvas, es que Einstein propuso que la ley de Newton no es correcta y en realidad todo sigue caminos geodésicos en un espacio-tiempo curvo. Además, no dice nada sobre las leyes de Newton (que están separadas de la ley de la gravitación), siempre que reinterprete "línea recta" como "geodésica".

También es muy difícil de imaginar, principalmente porque requiere una superficie curva 3+1D en más de 4 dimensiones si realmente quieres pensar en la gravedad real. Algo similar al cuenco y una canica es lo que la mayoría de la gente usa como demostración.

La idea principal es de geodésicas que generalizan líneas rectas. Si estamos en un espacio plano, entonces una línea recta continúa eternamente. Sin embargo, si vivimos en una esfera, entonces una geodésica es un gran círculo, que vuelve al punto de partida (muy parecido a una órbita perfecta).

Hay demasiadas dimensiones para realizar un seguimiento. Incluso si desechamos 1 dimensión espacial, todavía tenemos 2+1 = espacio-tiempo curvo 3D en el que vive nuestra geodésica. Reducir a 1D de espacio y hablar de gravedad no tiene sentido. Esta es la razón por la que la mayoría de la gente termina usando canicas en tazones.

El espacio curvo y las leyes de Newton no son mutuamente excluyentes.

En primer lugar, como se señaló en otros comentarios, la Relatividad General piensa en la gravedad como una manifestación de la curvatura del espacio- tiempo , no solo como la curvatura del espacio. Sin embargo, esa objeción es un aparte de su pregunta, porque definitivamente hay una curvatura espacial en la mayoría de las soluciones no planas de las ecuaciones de campo de Einstein.

En segundo lugar, las leyes de movimiento de Newton y Euler siguen vivas en la Relatividad General. La interpretación moderna de la primera ley de Newton es como una afirmación de la existencia de marcos inerciales, que se definen como marcos en reposo en relación con pequeños cuerpos rígidos (lo suficientemente pequeños como para no perturbar la gravitación del espacio-tiempo circundante) que están libres de las influencias de la fuerza. . El movimiento de partículas puntuales se define por la generalización de la noción de línea recta a la geometría no euclidiana, es decirpor geodésicas en el espacio-tiempo curvo. Ejemplo: la trayectoria de un satélite en caída libre alrededor de la Tierra. Una noción un poco más complicada es la de un marco que es "Miente arrastrado por el campo vectorial que se exponen al sistema de geodésicas": eso es un poco complicado, lo sé, y bastante técnico, pero puedes pensar en su definición de movimiento no rotacional en el caso en el que el cuerpo pequeño en cuestión es un cuerpo rígido de extensión distinta de cero en lugar de una masa puntual. La segunda ley de Newton se generaliza a declaraciones covariantes sobre la aceleración relativa a las geodésicas resultantes de la fuerza neta sobre un cuerpo; De manera análoga, la segunda ley de Euler trata sobre la rotación en relación con los marcos arrastrados de Lie inducidos por el par neto. La energía-momento se conserva localmente en la relatividad general ( es decir,se aplica sobre escalas de longitud/tiempo pequeñas comparadas con los recíprocos de las componentes del tensor de curvatura), por lo que las terceras leyes de Newton y Euler, formuladas en términos de conservación del momento y del momento angular, también mantienen su validez.

Por fin llegamos a la ley de gravitación de Newton. El problema aquí es que la Relatividad General, con su descripción de la gravedad como la curvatura del espacio-tiempo en oposición a una fuerza cuadrática inversa que actúa instantáneamente, reemplaza a la ley de Newton como el predictor más preciso de los resultados experimentales. Sin embargo, la ley de Newton no es lógicamente intrínsecamente incompatible con las nociones de curvatura en el siguiente sentido: uno podría escribir una forma covariante de la ecuación de Poisson gravitacional (la forma diferencial de la ley del inverso del cuadrado de Newton) que podría sostenerse en una variedad curva. Es simplemente que, experimentalmente, encontramos que tal cosa no predice con precisión el comportamiento gravitatorio si la variedad curva en cuestión es la parte espacial de un espacio-tiempo que resuelve las ecuaciones de campo de Einstein (al menos, podemos hacer esto en escalas de longitud pequeñas pero distintas de cero; a veces el espacio y el tiempo no se dividen globalmente en lo que se llama una "variedad foliada"). Por lo tanto, tal cosa no tendría una interpretación física.