¿Cómo se puede derivar en términos de presión el campo de velocidad de partículas debido a un monopolo acústico?

He visto en numerosas fuentes bibliográficas (p. ej., este capítulo del material didáctico abierto del MIT, páginas 414-415) el siguiente método para relacionar la presión con la velocidad de las partículas. Comience con el campo de presión de un monopolo acústico (fuente puntual con ondas esféricas uniformes):

$$p(r) = \frac{A}{r}e^{j(\omega t - kr)}$$ dónde $r$es la distancia radial desde la fuente, $A$es una amplitud arbitraria, $\omega$es la frecuencia temporal angular de la señal, y $k$es la frecuencia espacial angular. La segunda ley de Newton (como se describe en la literatura) relaciona la velocidad de las partículas $\textbf{u}$al gradiente de presión: $$\rho \frac{\partial \textbf{u}}{\partial t} = -\nabla p$$ La simetría radial en este caso significa que el gradiente de presión depende solo de $r$: $$\nabla p = \frac{\partial p}{\partial r} \textbf{e}_r = \left[ -\frac{A}{r^2}e^{j(\omega t - kr)} - \frac{A}{r}jke^{j(\omega t - kr)}\right] \textbf{e}_r$$ $$\nabla p = (-\frac{1}{r} - jk)p \textbf{e}_r$$ Por lo tanto, la segunda ley de Newton se puede escribir: $$\rho \frac{\partial u_r}{\partial t} = (\frac{1}{r} + jk)p$$ Suponiendo una solución oscilatoria para $u_r$, $\dot u_r = j\omega u_r$, lo que da $$\rho j \omega u_r = (\frac{1}{r} + jk)p$$ Dividiendo por $jk$, $$\frac{\rho \omega u_r}{k} = (\frac{1}{jkr} + 1)p$$ $$u_r = \frac{1}{\rho c} (1- j \frac{c}{2\pi fr})p$$

Ese es el resultado que veo dondequiera que miro, pero originalmente había adoptado un enfoque en el que consideraba un elemento esférico diferencial de volumen.$\textrm{d}V = r^2 \sin(\theta)\textrm{d}r \textrm{d}\theta \textrm{d}\phi$.

Un equilibrio de fuerzas en el$\hat r$dirección en el elemento produce

$$\Sigma F_r = \left( p - \frac{\partial p}{\partial r} \frac{\textrm{d}r}{2} \right) \left[ \left(r- \frac{\textrm{d}r}{2} \right)^2 \sin(\theta)\textrm{d}\theta \textrm{d}\phi \right] - \left( p + \frac{\partial p}{\partial r} \frac{\textrm{d}r}{2} \right) \left[ \left(r + \frac{\textrm{d}r}{2} \right)^2 \sin(\theta)\textrm{d}\theta \textrm{d}\phi \right]$$ Dividiendo por $\sin(\theta)\textrm{d}\theta\textrm{d}\phi$y términos de distribución, $$\frac{\Sigma F_r}{\sin(\theta)\textrm{d}\theta\textrm{d}\phi} = \left( p - \frac{\partial p}{\partial r} \frac{\textrm{d}r}{2} \right) \left( r^2 - r \textrm{d}r + \frac{\textrm{d}r^2}{4} \right)- \left( p + \frac{\partial p}{\partial r} \frac{\textrm{d}r}{2} \right) \left( r^2 + r \textrm{d}r + \frac{\textrm{d}r^2}{4} \right)$$ $$= pr^2 - pr\textrm{d}r + p \frac{\textrm{d}r^2}{4} - \frac{\partial p}{\partial r}\frac{\textrm{d}r}{2} r^2 + \frac{\partial p}{\partial r}\frac{\textrm{d}r}{2} r\textrm{d}r - \frac{\partial p}{\partial r}\frac{\textrm{d}r}{2} \frac{\textrm{d}r^2}{4}$$ $$- pr^2 - pr\textrm{d}r - p \frac{\textrm{d}r^2}{4} - \frac{\partial p}{\partial r}\frac{\textrm{d}r}{2} r^2 - \frac{\partial p}{\partial r}\frac{\textrm{d}r}{2} r\textrm{d}r - \frac{\partial p}{\partial r}\frac{\textrm{d}r}{2} \frac{\textrm{d}r^2}{4}$$ Despreciando los términos de orden superior, este equilibrio de fuerzas se reduce a $$\frac{\Sigma F_r}{\sin(\theta)\textrm{d}\theta\textrm{d}\phi} = -2pr\textrm{d}r - \frac{\partial p}{\partial r} r^2 \textrm{d}r$$ Dividiendo por $r^2\textrm{d}r$, la suma de las fuerzas (en el $\hat r$dirección) se ha dividido por el volumen diferencial $$\frac{\Sigma F_r}{r^2\sin(\theta)\textrm{d}r\textrm{d}\theta\textrm{d}\phi} = -\frac{2p}{r} - \frac{\partial p}{\partial r}$$ La discrepancia entre el resultado de este enfoque y el de la literatura es clara en este punto. Continuando, recordando que $$\frac{\partial p}{\partial r} = (-\frac{1}{r} - jk)p$$ da la ecuación de movimiento del fluido debido al monopolo acústico $$\rho \frac{\partial u_r}{\partial t} = -\frac{2p}{r} + \frac{p}{r} +jkp$$ $$\rho j \omega u_r = \left(-\frac{1}{r} + jk\right)p$$ Reorganizando, llegamos a mi resultado original: $$u_r = \frac{1}{\rho c} (1+ j \frac{c}{2\pi fr})p$$ Y comparar con la solución que encuentro en otro lugar: $$u_r = \frac{1}{\rho c} (1- j \frac{c}{2\pi fr})p$$

Es fácil ver esta inconsistencia y pensar en ella como un error de señal, pero no creo que ese sea el caso. Sospecho que el problema comienza con la formulación de la ecuación de movimiento. Todas las fuentes externas que he visto han dado por sentado

$$\rho \frac{\partial u}{\partial t} = -\nabla p$$ pero, ¿es esto realmente correcto para una onda esférica, en la que las superficies "frontal" y "posterior" tienen diferentes áreas sobre las que actúa la presión? Esta expresión me parece una solución de onda plana.

¿Dónde en mi derivación me he extraviado? ¡Muchas gracias a cualquiera que intente aclararme este concepto!