¿Cómo se produce la fórmula para calcular la frecuencia baja y alta en un filtro de paso de banda?

¿Cómo surgen estas fórmulas?

Comience con una imagen generalizada de su circuito:

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

A partir de las ecuaciones habituales para un amplificador operacional en retroalimentación negativa, puede encontrar,

$$v_o = -Z_1\frac{v_i}{Z_2}$$

Ahora sustituya las impedancias por los elementos en su diseño y eventualmente podrá obtener los cortes de alta y baja frecuencia en términos de esos valores de elementos.

Si sabe que estas frecuencias están bien separadas, puede ser útil suponer que$Z_1$está en el límite de baja frecuencia al calcular el corte de baja frecuencia y$Z_2$está en el límite de alta frecuencia al calcular el corte de alta frecuencia.

Enfoque general

Para empezar, seguro que estás muy familiarizado con esta configuración de amplificador inversor. Y estoy seguro de que sabes que para resistencias simples, la función de transferencia no es nada más difícil que:

$$G_s=\frac{V_\text{o}}{V_\text{i}}=-\frac{R_\text{feedback}}{R_\text{source}}$$

Así que en tu caso,$R_\text{feedback}$y$R_\text{source}$convertirse en su lugar$Z_\text{feedback}$y$Z_\text{source}$. Entonces:

$$G_s=\frac{V_\text{o}}{V_\text{i}}=-\frac{Z_\text{feedback}}{Z_\text{source}}$$

En este punto, es solo una especie de "llenar los espacios en blanco". Para resistencias,$Z_\text{R}=R$. Pero para condensadores,$Z_\text{C}=\frac1{s\,C}$.

$$G_s=\frac{V_\text{o}}{V_\text{i}}=-\frac{Z_{R_1}\mid\mid Z_{C_1}}{Z_{R_2}+Z_{C_2}}=-\frac{R_1\mid\mid \frac1{s\,C_1}}{R_2+\frac1{s\,C_2}}$$

Si haces un poco de álgebra (o, como hago yo, haces trampa y usas sympy para evitar los riesgos habituales de cometer errores muy humanos en el camino):

$$G_s=-\frac{R_1\,C_2\,s}{s^2+\left(\frac1{R_1\,C_1}+\frac1{R_2\,C_2}\right)s+\frac{1}{R_1\,C_1\,R_2\,C_2}}$$

Colocar$\alpha=\frac12 \left(\frac1{R_1\,C_1}+\frac1{R_2\,C_2}\right)$,$\omega_{_0}=\frac1{\sqrt{R_1\,C_1\,R_2\,C_2}}$, y crear el unitless$\zeta=\frac{\alpha}{\omega_{_0}}$.

Si separa la ganancia como$K=\frac{R_1\,C_2}{R_1\,C_1+R_2\,C_2}$(puede calcular$K=\sqrt{G_{j\,\omega_{_0}}\:G_{-j\,\omega_{_0}}}$, pero hay métodos menos formales para llegar al mismo lugar) ahora podemos escribir:

$$G_s=-K\:\left[\frac{2\zeta\,\omega_{_0}\,s}{s^2+2\zeta\,\omega_{_0}\,s+\omega_{_0}^2}\right]$$

(Tenga en cuenta que$A$también se usa en lugar de$K$, al igual que otros nombres de variables como$h$en el artículo de Sallen & Key.)

La ventaja aquí es que hemos aislado la ganancia en$K$, siendo el resto la función de transferencia de paso de banda de forma estándar . Todo lo que necesitamos saber sobre el paso de banda en sí mismo está contenido en la parte de forma estándar, determinada solo por$\zeta$y$\omega_{_0}$. Todo lo que necesitamos saber sobre la ganancia está contenido en$K$y no depende de$\zeta$o$\omega_{_0}$.

El denominador es cuadrático y las raíces son:

$$\begin{align*}\left\{\begin{array}{l}s_1=-\alpha+\sqrt{\alpha^2-\omega_{_0}^2}\\s_2=-\alpha-\sqrt{\alpha^2-\omega_{_0}^2}\end{array}\right.\end{align*}$$

$\zeta$es útil Llegan los siguientes casos (si miras el término raíz cuadrada de$s_1$y$s_2$puede notar que puede ser imaginario o real):

$$\begin{align*}\text{Damping factor conditions}\left\{\begin{array}{l}\zeta = 1 \left(\alpha=\omega_0\right)&&\text{Critically damped}\\\zeta \gt 1 \left(\alpha\gt \omega_0\right)&&\text{Over-damped}\\\zeta \lt 1 \left(\alpha\lt \omega_0\right)&&\text{Under-damped}\\\zeta = 0&&\text{Un-damped}\end{array}\right.\end{align*}$$

En su caso, tiene un paso de banda, lo que significa que debe ser el caso sobreamortiguado. Entonces la parte de la raíz cuadrada de la solución es real y por lo tanto$s_1$y$s_2$son reales (y diferentes entre sí). Aquí también, el$s_1$y$s_2$los polos en realidad representan su$\omega_{_\text{L}}$y$\omega_{_\text{H}}$:

$$\begin{align*}\left\{\begin{array}{l}\omega_{_\text{L}}=-s_1=\omega_{_0}\left(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1}\right)=\omega_{_0}\,\zeta\left(1-\sqrt{1-\frac1{\zeta^2}}\right)\\\omega_{_\text{H}}=-s_2=\omega_{_0}\left(\zeta+\sqrt{\zeta^2-1}\right)=\omega_{_0}\,\zeta\left(1+\sqrt{1-\frac1{\zeta^2}}\right)\end{array}\right.\end{align*}$$

Se calcula fácilmente a partir de las variables desarrolladas anteriormente. (Y tenga en cuenta que$\omega_{_\text{L}}\,\omega_{_\text{H}}=\omega_{_0}^2$.)

Tenga en cuenta que la función de transferencia anterior es solo una forma estándar de escribirla. No es la única forma estándar. Otro enfoque es simplemente reemplazar$s$con$j\,\omega$(suponemos que no se sale de control o que no se desvanece; en resumen, suponemos$\sigma=0$.) Además, desde$s_1$y$s_2$son raíces reales (para un filtro de paso de banda que está sobreamortiguado, por definición), podemos reorganizarlos de la siguiente manera:

$$\begin{align*} G_s&=-K\:\left[\frac{2\zeta\,\omega_{_0}\,s}{\left(s-s_1\right)\cdot\left(s-s_2\right)}\right]\\\\ &=-K\:\left[\frac{2\zeta\,\omega_{_0}\,j\,\omega}{\left(j\,\omega+\omega_{_\text{L}}\right)\cdot\left(j\,\omega+\omega_{_\text{H}}\right)}\right]\\\\ &=-K\:\left[\frac{2\zeta\,\frac{j\,\omega}{\omega_{_0}}}{\left(1+\frac{j\,\omega}{\omega_{_\text{L}}}\right)\cdot\left(1+\frac{j\,\omega}{\omega_{_\text{H}}}\right)}\right] \end{align*}$$

El punto es que hay diferentes maneras de representar la misma cosa. Tu elección dependerá de lo que quieras enfatizar. (Y, por supuesto, vale la pena jugar un poco con las ecuaciones para ver a dónde te llevan).

(Por cierto, lo anterior solo se aplica al caso en el que estamos hablando de un filtro de paso de banda sobreamortiguado. Hice algunas suposiciones sobre el hecho de que tenemos raíces reales y distintas para este último desarrollo).

Validación usando caso concreto

Diseñemos algo rápidamente, principalmente al azar , y veamos qué tan bien podemos predecir los resultados antes de probarlo usando los conceptos anteriores.

Voy a seleccionar arbitrariamente$R_1=10\:\text{k}\Omega$y$C_1=100\:\text{nF}$. (Esos son solo valores estándar que me vinieron primero a la mente). Ahora, voy a hacer$C_2=2.2\:\mu\text{F}$porque sé que quiero que pase algunas frecuencias bajas (¡después de todo, espero hacer un paso de banda!) Y finalmente elijamos$\zeta=2$... simplemente porque.

Esto me deja con tener que averiguar$R_2$. Si usas sympy para hacer trampa tanto como yo, descubrirás que$R_2\approx 6331\:\Omega$. (Creo que puede descubrir cómo resolver esto a partir de las ecuaciones anteriores y no necesita que lo tomen de la mano para eso).

Entonces. tengo un circuito!!!

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Un cálculo rápido ahora me dice que$K \approx 1.474$o, en resumen, la banda de paso será$\approx +3.368\:\text{dB}$. (Tenga en cuenta que$K$puede estar cerca de$\frac{R_1}{R_2}$, pero no es necesariamente exactamente ese valor).

También veo rápidamente que$\omega_{_0}=267.95$(o$f\approx 42.65\:\text{Hz}$), eso$\omega_{_\text{L}}=71.80$(o$f_{_\text{L}}\approx 11.43\:\text{Hz}$), y eso$\omega_{_\text{H}}=1000$(o$f_{_\text{H}}\approx 159.16\:\text{Hz}$.)

(Tenga en cuenta que$f_{_\text{L}}$es también$\frac1{2\pi\,R_2\,C_2}$y eso$f_{_\text{H}}$es también$\frac1{2\pi\,R_1\,C_1}$.)

Aquí están los resultados de la simulación de LTspice: