¿Cómo se deriva la corrección logarítmica de la entropía de un agujero negro no extremo?

Bien puede ser que ya se pudiera encontrar una imagen intuitiva para la corrección logarítmica en el artículo de Ashoke Sen, que fue el punto de partida de la pregunta (Aquí está el enlace nuevamente: 1205.0971 . Tal vez el hecho de que el argumento estaba algo oculto página 20 (§2.5 Contribuciones de bucle más altas) es la razón por la que no era obvio a primera vista, pero como Jeon y Lal enfatizaron más tarde en la introducción de 1707.04208 páginas 3:

La razón principal por la que el término logarítmico es una contribución importante a la fórmula microscópica es que es una corrección genuinamente cuántica de la fórmula de Bekenstein-Hawking determinada completamente a partir de fluctuaciones de un bucle de campos sin masa , que esencialmente constituyen los datos IR del agujero negro. . [...] El término logarítmico puede considerarse como una sonda IR de la teoría microscópica, en el sentido de que cualquier descripción microscópica putativa del agujero negro debe reproducir correctamente no solo la ley principal del área de Bekenstein-Hawking, sino también la corrección logarítmica lo.

Ahora, el argumento de Sen se basa simplemente en un ingenuo conteo de poder:

en$D$dimensiones, la$\ell$La contribución del bucle a la energía libre, dada por un gráfico típico de Feynman (vacío), debe escalar como

dónde$a$es el parámetro del tamaño del agujero negro relacionado con el área del horizonte$A$a través de$A\sim a^{D-2}$y$\ell_P$es la longitud de Planck relacionada con la constante de Newton$G$a través de$G\sim\ell_P^{D-2}$. Aquí me quedo con las anotaciones de la pregunta para el área y la de Newton, y las de Sen para el resto. La variable de integración$\tilde k$está relacionado con la cantidad de movimiento del bucle$k$a través de$\tilde k=ka$.$\epsilon$es un$a$-corte ultravioleta independiente (del orden de$\ell_P^2$en una teoría regulada ultravioleta). La función multiplicativa$F(\tilde k)$codifica las modificaciones (a partir de su forma en el fondo plano del espacio-tiempo) de los diversos propagadores y vértices que transportan momentos$k$en presencia del agujero negro. Asi que$F(\tilde k)$enfoques$1$para grandes valores de$ka$, ya que esperamos recuperar los propagadores y los vértices en un fondo de espacio-tiempo plano para grandes momentos.

Primero considere el caso donde todos los momentos de bucle son del mismo orden. Como$F(\tilde k)\rightarrow 1$, podemos expandir la función en una serie de potencias en$1/\tilde k$para grande$\tilde k$. A$\ln(a/\sqrt{\epsilon})$término saldrá de la integración de la$\tilde k^{2\ell-2-D\ell}$contribución y después de multiplicar por el$a$-prefactor dependiente se verá como

que está muy suprimida en la gran$a$límite a menos que$\ell = 1$, según lo anunciado.

Además, Sen analizó la posibilidad de que un subconjunto de los momentos del bucle sea más pequeño que el resto. El efecto de los bucles duros puede considerarse como una renormalización de los vértices y propagadores de la parte blanda del gráfico. Podemos concluir con Sen que mientras la renormalización no cambie la acción efectiva de baja energía, es decir, mientras las partículas sin masa se mantengan sin masa y el acoplamiento mínimo a la gravedad siga siendo mínimo, estas contribuciones no cambian las correcciones logarítmicas a la entropía del agujero negro. Por último, los acoplamientos derivados superiores que podrían generarse por efectos de renormalización darán poderes adicionales de$\ell_P/a$, haciendo que el coeficiente del término logarítmico sea aún más suprimido de lo que se ha argumentado antes.

Por lo tanto, podemos decir que la corrección de un lazo a la ley de Bekenstein-Hawking es universal: depende solo del espectro sin masa y es insensible a la terminación UV de la teoría. Para decirlo de otra manera, la razón básica de esto es que los efectos de una partícula masiva pueden explicarse integrándola, lo que genera términos derivados más altos en la acción efectiva, que a su vez conducen a correcciones a la entropía que son suprimidas por potencias inversas de$a$y no puede contribuir.

Si aún no está totalmente convencido del estado canónico de la corrección logarítmica "genuinamente cuántica", permítame primero enfatizar el papel central del método del núcleo de calor en el cálculo de Sen (ver, por ejemplo , §2.2 p. 10), que es un método muy herramienta conveniente para calcular divergencias de un bucle y estudiar anomalías cuánticas (ver Vassilevich para una vista general). En este sentido, podemos ser incluso más convincentes si usamos el enfoque moderno que reformula el cálculo de la entropía del agujero negro en términos de entropía de entrelazamiento. Más precisamente, siguiendo a Solodukhin , Ro Jefferson ha escrito una publicación de blog muy informativa sobre el tema.que da, a través del truco de la réplica, las dos contribuciones a la entropía termodinámica del agujero negro (Schwartzschild): una entropía gravitacional clásica (porque representa la contribución a nivel de árbol a la integral de trayectoria), la famosa ley del área de Bekenstein-Hawking, y la entropía de entrelazamiento, que es la corrección cuántica de un bucle. Es decir, si tuviéramos que restaurar la constante de Planck, la ley del área vendría con una$1/\hbar$, y la parte de entrelazamiento sería de orden$\hbar^0$.