¿Cómo puedo reproducir este efecto masa-resorte? [cerrado]

Basado únicamente en ver un clip de video de unos pocos segundos, sin profundizar en las partes internas del software, parece plausible que la bola se mueva en la pantalla de acuerdo con las ecuaciones de movimiento para un oscilador armónico amortiguado 2d no forzado. Alquiler$x$y$y$ser las coordenadas de la pelota, y$(x_{\rm eq},y_{\rm eq})$Sea la posición del equilibrio del resorte (que dijiste que es la posición donde tu dedo toca la pantalla), las ecuaciones de movimiento son

$$\begin{eqnarray} m \ddot{x} + \gamma \dot{x} + k (x-x_{\rm eq}) = 0 \\ m \ddot{y} + \gamma \dot{y} + k (y-y_{\rm eq}) = 0 \\ \end{eqnarray}$$ dónde$m$es la masa de la pelota,$\gamma$es un coeficiente que describe la fuerza de fricción, y$k$es la constante del resorte. Estos tres parámetros deben poder ajustarse en el código. El ejemplo en el video parece que fue sobreamortiguado, lo que significa que$\gamma^2>4 m k$. ( La hiperfísica tiene buenas descripciones de diferentes regímenes de comportamiento para el oscilador armónico amortiguado)

También es necesario especificar las condiciones iniciales. Supongo que cuando toca la pantalla, el simulador resuelve las ecuaciones anteriores, con la posición de equilibrio$(x_{\rm eq}, y_{\rm eq})$siendo la posición de su dedo, y la posición y velocidad inicial siendo la posición y velocidad de la pelota en el momento en que se tocó la pantalla.

Finalmente, el último ingrediente que se necesita son las condiciones de contorno para decir qué hace la pelota cuando llega al borde de la pantalla. Sospecho que el código utiliza condiciones de contorno reflectantes, por ejemplo, en el momento en que el$x$la coordenada alcanza el valor mínimo o máximo permitido de$x$, la velocidad en el$x$señal de cambios de dirección.

Para codificar esto, en general, puede usar algoritmos estándar para integrar las ecuaciones diferenciales, como un método de Runge-Kutta . O implementaciones de esos métodos en cualquier lenguaje de programación que esté utilizando. Para este problema específico, que es lineal, puede usar una solución analítica (fórmula explícita que da el movimiento), por ejemplo, consulte la ecuación 72 de las notas sobre ondas y oscilaciones de Richard Fitzpatrick

$$\begin{eqnarray} x(t) &=& A e^{-\gamma t/2} \cos(\omega t - \phi) \\ y(t) &=& B e^{-\gamma t/2} \cos(\omega t - \psi) \\ \end{eqnarray}$$ dónde$\omega=\sqrt{k/m}$y donde$A, B, \phi, \psi$son constantes elegidas para satisfacer las condiciones iniciales (a saber, que la posición inicial$(x(0), y(0))$y la velocidad inicial$(\dot{x}(0),\dot{y}(0))$hacer coincidir la posición y la velocidad de la pelota en el momento en que toca la pantalla).