¿Cómo puedo encontrar la velocidad angular y lineal de un cuerpo 2D que se divide en dos cuerpos?

Escribo esto asumiendo que estás hablando de algo así como un disco que se rompe y las piezas se mueven sin interactuar entre sí.

Necesitas conservar energía:

$m_0v_0^2 = m_1v_1^2 + m_2v_2^2$

$I_0w_0^2 = I_1w_1^2 + I_2w_2^2$

dónde$v_0$,$v_1$, y$v_2$son las magnitudes de las velocidades$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

También necesita conservar el momento lineal y angular:

$m_0\mathbf{v_0} = m_1\mathbf{v_1} + m_2\mathbf{v_2}$

$I_0\mathbf{w_0} = I_1\mathbf{w_1} + I_2\mathbf{w_2}$

o

$m_0v_{0_x} = m_1v_{1_x} + m_1v_{1_x}$

$m_0v_{0_y} = m_1v_{1_y} + m_1v_{1_y}$

$I_0w_{0_z} = I_1w_{1_z} + I_2w_{2_z}$

Ahora, lo difícil es descubrir la mecánica de cómo se divide el sistema. Si comienzas a hacer girar una piedra en una cuerda de longitud$r$, y la cuerda se rompe, la piedra será lanzada en la dirección de su velocidad tangencial$v = rw$en el instante en que se rompió la cuerda. A esto se suma la velicidad original del sistema. También puede aplicar esto a su cuerpo utilizando el sistema de centro de masas que nos proporcionó:

$\mathbf{v_1} = \mathbf{r_1}\times\mathbf{w_0} + \mathbf{v_0}$

$\mathbf{v_2} = \mathbf{r_2}\times\mathbf{w_0} + \mathbf{v_0}$

Dado que el sistema está en 2D, la dimensión z solo actúa para obtener un producto perpendicular y determinar la rotación en sentido horario y antihorario con signos negativos y positivos, respectivamente.$\mathbf{r_1}$y$\mathbf{r_2}$siempre debe ser colineal y apuntar en direcciones opuestas. Puedes dividirlos para obtener:

$v_{1_x} = r_{1_x}w_0 + v_{0_x}$

$v_{1_y} = -r_{1_y}w_0 + v_{0_y}$

$v_{2_x} = r_{2_x}w_0 + v_{0_x}$

$v_{2_y} = -r_{2_y}w_0 + v_{0_y}$

Es importante tener en cuenta que los componentes xy en mi desarrollo son generales y no tienen en cuenta$\mathbf{r_1}$y$\mathbf{r_2}$siendo colineales y opuestos. Eso se contabilizaría con SUS condiciones iniciales.

Resolvamos esto considerando el proceso invertido en el tiempo: dos objetos giratorios chocan de manera inelástica. Sabemos que el momento lineal y angular se conservan:

Este último también se puede escribir (asumiendo que tienes los momentos de inercia) como:

La relación entre$\vec{\omega}$y$\vec{v}$es$\vec{v}= \vec{r}\times\vec{\omega}$, dónde$\vec{r}$es desde el eje (o punto) de rotación. Así que tienes un sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas (acopladas) (cada vector tiene tres componentes). Yo personalmente resolvería esto escribiendo las ecuaciones en términos de los componentes de los vectores desconocidos y resolviendo usando un algoritmo numérico (o Mathematica).

Dado que se supone que el disco no fracturado (así se supone, ¿verdad?) tiene una densidad uniforme, tiene un centro de masa en el centro geométrico del disco. Entonces, dado que el centro de masa de dos masas distintas se encuentra en una línea que las conecta, los CM de los dos fragmentos deben estar en un diámetro del disco. No solo eso, si la distancia radial del CM de$B_1$es$r_1$, y la distancia radial de$B_2$es$r_2$, entonces desde$m_1$$r_1$=$m_2$$r_2$,$r_1$/$r_2$=$m_2$/$m_1$. Sin embargo, sin conocer las geometrías de al menos uno de los fragmentos, no hay manera de determinar los valores de$r_1$y$r_2$. Suponiendo que los conozca, el resto se vuelve fácil. Los dos fragmentos pueden considerarse masas puntuales conectadas por un hilo infinitesimal, girando a$\omega_0$alrededor del centro de masa común. Dado que las orientaciones de los dos fragmentos son fijas, cada fragmento gira alrededor de su propio centro de masa en$\omega_0$. Cada fragmento tiene una velocidad tangencial proporcional a su distancia radial desde el CM común, por lo que$v_1$=$\omega_0$$r_0$/$r_1$, y$v_2$=$\omega_0$$r_0$/$r_2$. La dirección, por supuesto, está determinada por el ángulo de la línea que conecta los dos CM en el momento del lanzamiento. Además, dado que no hay interacción entre los dos fragmentos durante la liberación, cada uno mantendrá una tasa de rotación$\omega_0$alrededor de su centro de masa.