¿Cómo puedo calcular el área de la cola requerida para lograr la estabilidad estática longitudinal?

Dejaré que @Peter Kampf explique las matemáticas, pero creo que es más fácil conceptualizar la estabilidad estática si simplemente piensa en el avión como una veleta girada para que su eje de pivote sea horizontal. La estabilidad estática simplemente son las fuerzas que lo hacen apuntar hacia el viento, excepto que el viento cambia en dirección vertical en lugar de horizontal.

En lugar del pivote de la veleta, el pivote es el centro de gravedad de la aeronave. La "veleta" de la veleta, la parte sobre la que sopla el viento para alinearla, es el centro aerodinámico de la huella horizontal de toda la aeronave, la suma de todas las fuerzas dinámicas que actúan en dirección vertical hacia arriba o hacia abajo sobre la fuselaje, góndolas de motor, alas y cola. Este es el Punto Neutro.

El Punto Neutral tiene que estar detrás del pivote, el Centro de Gravedad. Cualquier cambio en la configuración que cambie la huella horizontal aerodinámica desplaza el punto neutral. Volviendo a la veleta, si pega un trozo de cartón en la parte posterior de una veleta, ha movido su punto neutral hacia atrás y quiere apuntar hacia el viento con más fuerza. Es más estable. Pegue un trozo de cartón hacia adelante y moverá el punto neutral hacia adelante, reduciendo su estabilidad o tendencia a apuntar. Pegue con cinta una pieza lo suficientemente grande para que haya un área de superficie igual en cada extremo, y mueva el punto neutral al eje de pivote y la veleta ya no apunta, sino que simplemente vaga en cualquier dirección. Su estabilidad es neutra. Pegue con cinta adhesiva una pieza aún más grande, y la veleta querrá cambiar de extremo hasta que encuentre estabilidad yendo en la dirección equivocada. es inestable

Entonces, la pregunta es básicamente qué tan grande debe ser la cola para que el centro aerodinámico general, el Punto Neutral, de todo el avión esté lo suficientemente atrás del Centro de Gravedad para una tendencia adecuada de "avanzar por la intemperie" del eje de cabeceo, o estabilidad estática positiva . Al hacer la cola más grande, se mueve hacia atrás, al hacerla más pequeña, se mueve hacia adelante. La fórmula para la estabilidad longitudinal deriva el área de superficie requerida de la cola cuando su influencia se combina con las fuerzas aerodinámicas que actúan sobre la huella horizontal general de todo el cuerpo.

Esto es lo que metió a Boeing en problemas con el MAX. El cambio de motor, moviendo las góndolas hacia adelante, básicamente desplazó el centro aerodinámico de la veleta demasiado cerca del eje de pivote (el C de G más atrás), reduciendo su "capacidad de apuntar" en ciertos regímenes de vuelo. Como si hubiera agregado un área de superficie al extremo frontal de su veleta.

Más allá de eso, luego ingresa a las fuerzas de compensación, o el uso de momentos de cabeceo opuestos entre la cola y el ala principal para crear equilibrios de fuerza que permiten que la aeronave apunte "fuera del viento" (verticalmente), lo que le brinda la capacidad de maniobrar y ser estable en varios ángulos (ángulos de ataque en otras palabras, lo que debe hacer para que las alas se levanten en primer lugar) que no sean directamente hacia el viento, así como también tener buenas características de restauración dinámica. Sin fuerzas de recorte, el avión se convierte en un dardo de césped muy estable estáticamente.

Sus preguntas anteriores ya han establecido que su profesor simplifica demasiado las cosas y tiene un problema con la enseñanza de conceptos básicos.

Eso me permite suponer que el centro aerodinámico de la combinación ala-cuerpo es el mismo que el centro aerodinámico (ac) del ala central (lo cual no es cierto, pero no importa). De lo contrario, esta pregunta no se puede resolver.

La estabilidad estática significa que un cambio en el ángulo de ataque (AoA) cambia los momentos aerodinámicos alrededor del centro de gravedad (cg) de modo que permanece un cambio de momento de restauración. Hablando matemáticamente esto significa: si la derivada de los momentos sobre el ángulo de ataque es negativa, el avión es estable. Aquí buscamos el área de cola mínima que crea estabilidad, por lo que la derivada deseada debe ser cero, volviéndose más negativa con áreas de cola más grandes.

Ahora, manos a la obra: ¿Cuáles son las contribuciones al cambio de momento aerodinámico en AoA?

1. Ala:$\frac{\delta M_{Wing}}{\delta\alpha} = 1.8\cdot0.098\cdot511\cdot q$

Como no se conocen ni la velocidad ni la altitud, no puedo usar un número para la presión dinámica y mantener su símbolo ($q$). Se dan todos los demás parámetros.

2. Cola:$\frac{\delta M_H}{\delta\alpha_H} = -29.7\cdot0.047\cdot S_H\cdot q$

Los 29,7 metros es lo que queda entre el cg y el ac de la cola. Pero nos olvidamos de una cosa: ¡hay que tener en cuenta la corriente descendente! Cuando el cambio real de AoA es de 10°, es solo de 9° en la cola. Matemáticamente, esto significa$\delta\alpha_H = 0.9\cdot\delta\alpha$

Ahora es el momento de igualar a cero la suma de ambas derivadas de momento:

Afortunadamente, la presión dinámica se puede cancelar en ambos términos (otra simplificación que no sobrevivirá al contacto con la realidad...) y aislamos el área de la superficie de la cola en un lado:

que es el 14% del área del ala y mucho menos que el número real de 136,6 m². Umer, ahora al menos deberías verificar las unidades en todas esas ecuaciones para ver si tienen sentido. ¡Informe en los comentarios lo que ha descubierto!

El número real es mayor ya que la ubicación trasera del centro de gravedad no produce una estabilidad longitudinal indiferente sino que deja un mínimo distinto de cero. Desafortunadamente, este mínimo no se da. Otra razón es que la cola normalmente tiene el tamaño adecuado para el caso de aterrizaje con flaps completos. Una tercera razón es que desea mantener cierto margen para maniobrar; nuevamente, ese margen no se proporciona aquí.