¿Cómo pueden los seres inteligentes diseñar el transporte y la construcción cuando solo pueden contar 0, 1 y muchos?

Hasta donde quieras.

Los humanos tienen problemas para conceptualizar grandes números. No podemos contarlos, así que por encima de cierto punto vemos el número '178654' y nuestro cerebro lo convierte en 'muchos'. No cambia el valor del número, solo cómo lo intuimos. Para cualquier cosa más grande que el número que podemos imaginar (varía de persona a persona) comenzamos a hacer matemáticas en lugar de contar.

Entonces, ¿cómo podemos hacer matemáticas?

Descomponemos el número en números más pequeños. Hay un lote de 100000, 7 lotes de 10000, etc. 100000 es simplemente diez multiplicado por sí mismo muchas veces. Si trato de imaginar 100 personas, lo que realmente imagino (nuevamente, esto varía de persona a persona) es una cuadrícula de 10x10 personas, porque sé que son 100, aunque no puedo contar 100 personas sin que mi cerebro se rinda y diga ' muchos'. Limpio.

Pero, ¿cómo ayuda esto a su especie? ¡No pueden contar más de 1!

No necesitan hacerlo. Introduciendo:

¡Base 2, también conocido como binario!

Los únicos números que necesitas para las matemáticas en binario son el 1 y el 0. Todo lo demás es simplemente una cuestión de ubicación. 0 es 0. 1 es 1. 10 es fácil, es un lote de uno más que uno. 11 es uno más que uno más uno. 100 es uno más de uno lotes de uno más de uno.

Si realmente necesita 'contar' cosas, no lo haga en su cabeza. Escríbelo. Sabes que no puedes conceptualizar más allá del 1, así que no lo intentes. Las matemáticas no requieren que cuentes los números, simplemente que confíes en que los símbolos que escribes y las reglas que conoces funcionan, de hecho, funcionan. Así que obtienes una entrega de '1000 ladrillos', luego, cuando has movido un ladrillo, escribes '111' ladrillos, porque esa es la regla para restar 1. No importa que no puedas concebir qué 111 ladrillos en realidad parece. Las matemáticas no mienten.

Y nosotros (como humanos) sabemos que las matemáticas en binario funcionan. Nuestras computadoras ni siquiera tienen el concepto de muchos. Funcionan usando nada más que 0 y 1, y de alguna manera hemos logrado usarlos para construir algunos de los edificios más complejos del mundo.

Las otras respuestas cubren qué hacer antes de comenzar con los conceptos de matemáticas. Después de dominar las matemáticas básicas (incluso si es simplemente binario o, si puede captar la idea de la base 3 de 'los más pequeños'), puede usar eso para hacer cualquier cosa que los humanos puedan hacer.

¿Calculado que se necesitarán 1111011011100111 ladrillos para construir esta casa? Fresco. Pídelas y ponte en marcha. ¿Necesita medir una distancia de 1000011 mm? Seguro. Su cinta métrica tiene esas marcas.

Y lo más extraño es que una vez que tenga los métodos para escribir y manipular números, es posible que algunas personas comiencen a pensar en términos matemáticos en lugar de números. Y es posible que quieran una palabra para 10 que no sea tan torpe como 'un lote de uno más de uno'. Di.. 'Dos'...

APÉNDICE:

Ha habido bastantes comentarios del tipo 'pero esto es solo contar usando un sistema numérico diferente'. Ese no es el punto de esta respuesta. El punto de esta respuesta es que esta especie es más que capaz de hacer las matemáticas , incluso si no pueden comprender los números reales involucrados, al igual que puedo usar el concepto de i (la raíz cuadrada de menos 1) incluso aunque es imposible para mí conceptualizarlo o incluso contarlo.

Para explicarlo con un poco más de detalle, aquí está el profesor Sneebleflarp con la primera conferencia de 'La teoría de muchos' (también conocido como Rederivar las matemáticas cuando no puedes contar)

Buen día. Mi nombre es profesor Sneebleflarp, ​​jefe de filosofía avanzada en la universidad de Gnurf.

Hoy aprenderás los inicios de lo que se conoce como 'La teoría de los Muchos'. Es posible que todos deseen sacudirse esas resacas y concentrarse, porque lo que estoy a punto de enseñarles es difícil de entender y es examinable.

Ahora. Mira a tu alrededor. Puede notar que aunque hay muchos asientos en esta sala, y muchos estudiantes aquí para escucharme, hay muchos estudiantes que todavía están de pie. Por cierto, si cada uno de ustedes se asegura de traer un asiento extra del final del pasillo la próxima vez tendremos muchos asientos vacíos, lo cual estoy seguro de que aquellos de ustedes con resaca apreciarán. El problema de 'cómo podemos asegurarnos de que no tenemos estudiantes de pie ni asientos vacíos' es el problema que intentaremos resolver hoy, junto con algunas notas sobre nomenclatura y convención.

Para resolver este complejísimo problema, contempla mi escritorio. Puede notar una ausencia total de piedras. No hay piedras en este escritorio.

Ahora, contempla la canasta al lado de mi escritorio. Tiene abundancia de piedras. Un exceso de piedras. En resumen: La canasta contiene muchas piedras.

Si tomo una piedra de la canasta y la pongo sobre el escritorio, ahora tengo una piedra sobre el escritorio. Esto es claro. Tomo otra piedra de la canasta y la coloco sobre el escritorio. Ahora tengo muchas piedras. Ha habido un cambio. Pero si tomo otra piedra y la agrego a mi escritorio, todavía tengo muchas piedras. Ningún cambio. El procedimiento de tomar una piedra y ponerla en la pila se conoce como 'agregar una'. Agregar una piedra a una piedra produce muchas piedras. Agregar una piedra a muchas piedras también es igual a muchas piedras. Esto es natural y comprensible.

Ahora, pondré estas piedras en el extremo izquierdo de mi escritorio. En el otro extremo de mi escritorio agregaré una piedra de la canasta. Y luego otro.

Ahora tengo un montón de muchas piedras a mi izquierda y un montón de muchas piedras a mi derecha. Tomo una piedra de mi izquierda y una piedra de mi derecha y las vuelvo a colocar en la canasta, un procedimiento conocido como 'reducción simultánea'. ¿Qué encuentro?

Ahora tengo una pila de muchas piedras y una pila de una sola piedra. ¿Cómo se puede explicar esto?

La respuesta es simple, aunque es posible que desee escribirla. Uno muchos no es necesariamente lo mismo que otros muchos. Si saco otra piedra de mi izquierda y otra de mi derecha, ahora solo me queda una piedra a la izquierda de mi escritorio, aunque comencé con muchos montones de muchas piedras.

Podemos ver a través del método simple de remover piedras que las muchas piedras a mi derecha pueden reducirse a ninguna piedra antes que las muchas piedras a mi izquierda. Esto se conoce como ser muchos 'más grandes'. Lo contrario se conoce como muchos 'más pequeños'. En el caso que les acabo de mostrar, la pila de muchas piedras más a la izquierda era 'una más grande', ya que me quedé con una piedra allí después de haber reducido la pila más a la derecha a nada.

Ahora. Limpiaré mi escritorio de nuevo. Luego preparo las mismas pilas de muchos que antes, y muevo la pila a mi derecha al centro del escritorio. Agregaré uno más a cada una de estas pilas.

Luego agrego uno a la derecha de mi escritorio. Luego agrego otro a la derecha de mi escritorio.

Tengo muchos montones de muchos, como antes. Uno a la derecha, uno a la izquierda y uno en el medio. Diré, y usted puede verificarlo en su propio tiempo, que la pila de la izquierda es 'una más grande' que la pila del medio, y la pila del medio es 'una más grande' que la de la derecha. ¿Recuerdas la nomenclatura de antes? Bien.

Ahora quitaré la pila del medio por completo y la volveré a colocar en la canasta. Si al mismo tiempo reduzco todas estas pilas como antes, ¿qué esperaríamos que sucediera? Terminamos con uno en la pila de la izquierda, ¿verdad? Bueno, hagámoslo.

¿Pero qué es esto? Tengo muchos a la izquierda? Este es el caso conocido como 'mucho más grande'. 'Uno más grande' es en realidad un caso especial de 'muchos más grandes', aunque es posible que tengas que esperar algunas lecciones para que eso se haga evidente. También es cierto, como demostró el gran pensador Fleeblesnarp hace muchos años, que cualquier caso de 'muchos más grandes' se puede descomponer en pasos intermedios, como hicimos con el montón del centro, hasta que se convierte en nada más que muchos casos. de 'uno más grande'.

Ahora, esto ofrece una solución a nuestro problema de asientos. Si reducimos simultáneamente el número de estudiantes y el número de asientos en esta sala, se hará evidente que el número de estudiantes es mucho mayor que el número de asientos. ¿Recuerdas que dije que cualquier 'muchos más grande' se puede descomponer en muchos casos de 'uno más grande'? ¿Podrían todos los estudiantes que están actualmente parados venir y tomar una piedra y ponerla en una pila a la izquierda del pasillo?

Ahora. Lo importante de los conjuntos 'más grandes' y 'pequeños' de 'muchos' es que puede reducirlos simultáneamente para discernir qué tan 'grande' o 'pequeña' es la diferencia entre los conjuntos. En el caso de mi escritorio: la pila de muchas piedras a la izquierda de mi escritorio representa esta diferencia. son muchos En el caso de los asientos, las piedras a la izquierda del salón representan la diferencia. Puede que sean los mismos muchos. Puede ser muchos diferentes. Eso es irrelevante para el propósito de esta demostración. Ahora. Todos los estudiantes sentados. Por favor ven y toma una piedra y colócala a la derecha del pasillo.

Ahora vemos que tenemos muchos montones de muchas piedras. Uno que representa los muchos asientos y otro que representa la diferencia entre los muchos estudiantes y los muchos asientos.

Ahora para la parte difícil. Si tuviera que tomar uno de la izquierda del pasillo y ponerlo a la derecha, restaría uno de los muchos de la izquierda y sumaría los muchos de la derecha. ¿Si hago eso muchas veces? Estoy recreando físicamente el teorema de Fleeblesnarp sobre la divisibilidad de muchos más grandes. Esto a su vez significa que si simplemente tomo la pila de muchas piedras más a la izquierda y la agrego a la pila de muchas piedras más a la derecha, terminaré con una pila de muchas piedras que es mucho más grande que las muchas que tenía antes. Esto se conoce como 'agregar muchos', y es el equivalente conceptual de 'muchos más grandes' al igual que 'agregar uno' es igual a 'uno más grande'. En concreto, he añadido la diferencia entre los muchos alumnos de pie y los muchos sentados.

Sé que esto es difícil de entender. Todos están sentados pensando '¡pero ahora solo tienen un montón de muchas piedras!' y tienes razón Pero si todos los estudiantes pudieran ahora venir y recoger una piedra...

Verás que hay exactamente tantas piedras como estudiantes. Por lo tanto, si podemos lograr que los estudiantes que tienen un asiento vengan a poner sus piedras atrás…

Luego, en la próxima clase, solo los estudiantes que sostienen piedras necesitarán obtener una silla cada uno del final del pasillo. Tendremos muchas sillas y muchos estudiantes, pero no tendremos sillas vacías ni estudiantes de pie.

En la próxima clase, les enseñaré sobre muchos lotes de muchos, y comenzaré con los rudimentos de registrar los tamaños de muchos, o 'binarios', así como la simbología de 'más grande', 'más pequeño', 'agregar', 'quitar' Etcétera. Recuerde: Este es el trabajo de muchos grandes pensadores. No lo tendrás en un día. Así que lee tus notas. Habrá un ejercicio debido dentro de muchos días.

PD: Es muy difícil escribir desde la perspectiva de esta carrera. ¡¡Dos es demasiado tentador!!

En el pasado, no especificabas cuántos ladrillos y troncos se necesitarían para construir una casa. Solo horneaba ladrillos y hacía troncos mientras construía hasta que la casa estaba terminada. Cualquier sobrante se guardó para reparaciones o para la próxima vez que se construyera una casa: "Necesitamos construir 1 casa, y necesitaremos muchos ladrillos, troncos y baldes de mortero, hasta que necesitemos 0 más". "Consígueme un tronco tan largo como este trozo de cuerda".

Transporte: "Este 1 carrito necesita 1 rueda en cada esquina, todas de 1 tamaño"; "El autobús pasa cada vez que las sombras en este reloj de sol alcanzan una marca. Si está nublado, adivina".

Infraestructura: "Necesitamos 1 camino de aquí para allá. Encuentra muchos hombres y comienza a trabajar. Tienes 1 año para hacerlo".

También tenga en cuenta que los animales generalmente no pueden contar con más precisión que 0, 1, muchos, pero aún pueden construir viviendas (madrigueras, nidos, montículos de termitas, colmenas) e infraestructura (diques de castores, senderos para ciervos).

La ciencia, sin embargo, sufrirá. No se pueden desarrollar las matemáticas, y sin las matemáticas, no se puede desarrollar la astronomía o mucho en el camino de la física, más allá de las simples reglas empíricas. La medicina será más fácil, ya que los novatos pueden aprender con el ejemplo de los médicos experimentados, y los dibujos y gráficos médicos generalmente no necesitan muchos números. Es posible que no sea necesario que las medidas sean más finas que "1 dedal, 1 cucharadita, 1 cuchara sopera, 1 puñado, 1 taza, 1 taza, 1 jarra, 1 balde", etc. para que funcionen para la mayoría de las cosas.

En general, creo que sería posible desarrollar algo así como una sociedad industrial temprana, incluidos ferrocarriles, barcos de vapor e incluso aviones simples, pero probablemente nada más avanzado que eso, excepto en algunos campos como la cría selectiva.

Desarrollarían las mismas matemáticas que nosotros.

han desarrollado lenguajes orales y escritos complejos

No existe una razón racional por la que una especie capaz de desarrollar lenguajes hablados y (particularmente) escritos complejos no desarrolle matemáticas escritas igualmente complejas. Es una progresión natural.

Contar es anterior a la historia humana escrita. No tenemos idea de cuándo reemplazamos "ugg, ugg" con "dos". Parece ser una función de desarrollar un lenguaje para describir el mundo. El resto es probar esa regla, ahora ¿podemos extender esa regla? No puede detener el desarrollo de sistemas numéricos y matemáticas sofisticados a menos que desee que sean incapaces de una comunicación compleja.

y pueden estudiar su propia anatomía y el medio ambiente.

Luego harán preguntas como "¿cuánto puedo levantar usando esta palanca?" etcétera. Así es como se desarrollan la física y la ingeniería basadas en la teoría numérica y luego simbólica.

va a pasar

Asumiendo que son capaces de contar usando 0, 1 y muchos,

El cero no es un número natural, es un número inventado . No comenzamos con un cero y uno, dos, tres, comenzamos con un ugg, ugg ugg, uggg ugg ugg ... - contar es un proceso en desarrollo y la extensión del sistema de conteo es cómo obtuvimos números enteros ( excluyendo cero, ¿qué es un cero de algo de todos modos?) a un sistema de números que incluye números complejos y números no computacionales.

La curiosidad que los impulsa a considerar su propio entorno los impulsará a desarrollar las matemáticas para ayudarlos en la exploración de ese entorno y las reglas por las que funciona. Es inevitable.

¿Cómo pueden construir cualquier tipo de infraestructura de transporte y construcción? ¿Hasta dónde puede progresar su tecnología?

Con solo 0, 1 y muchos, en absoluto. Puede llegar tan lejos con el conocimiento empírico, pero requiere un estudio sistemático para desarrollar la industria adecuada. Lo más significativo es que el requisito de construir algo grande y costoso (como se debe hacer para desarrollar una industria compleja) también requiere una inversión significativa. Nosotros (y ellos) minimizamos el riesgo y reducimos el potencial de errores catastróficos mediante el uso de ingeniería compleja basada en matemáticas altamente desarrolladas.

El restaurante al final de tus dedos.

Digamos que desarrollan milagrosamente una sociedad compleja que incluye (naturalmente) restaurantes y teléfonos. Llaman para reservar mesa. Una pregunta obvia y necesaria que se hará es "¿cuántos de ustedes vendrán?". Una respuesta restringida a 0,1 o muchos no es prácticamente útil.

El dueño de su restaurante va a querer que le paguen. El trueque es genial, pero ninguna sociedad de la Tierra ha dejado de reemplazarlo con algo mejor (o al menos más práctico): el dinero. Pero el dinero e incluso la forma más básica de negocio requiere algún tipo de conteo. "Muchos" no va a ser suficiente si quiere permanecer en el negocio.

Si tienen dedos o incluso dos piernas, obtendrán el número dos y probablemente tantos números básicos como puedan contar con sus dígitos. Si están a punto de ir a la guerra con una tribu vecina, ningún líder estará feliz con la respuesta "muchos" de un explorador enviado para decirles cuántos guerreros enemigos vienen por el camino.

El hecho es que nosotros (y ellos) naturalmente (y muy pronto) desarrollaremos la necesidad de producir matemáticas mucho más allá de cualquier sistema de conteo "natural" básico con el que comiencen.

Así que la idea simplemente no es posible.

¿Hasta dónde podrían llegar?

En cuanto a golpear "muchas" rocas y olvidar los idiomas.

Unario y artefactos

Voy a afirmar que los extraterrestres tienen inteligencia a nivel humano, pero por alguna razón no pueden conceptualizar mentalmente y crear palabras para números distintos. Como tal, todavía pueden entender los tamaños relativos y demás, pero no pueden mantener un valor numérico (aparte de 0, 1 y muchos) en su cabeza durante toda su vida.

Me acuerdo de una historia que escuché acerca de cómo los pastores de la antigüedad contaban sus ovejas. No sé si algo de esto es realmente cierto, pero dice lo siguiente: Por la mañana, el pastor juntaba a sus ovejas y, para cada una de ellas, ponía una piedra en una bolsa. Por la noche, haría lo mismo, pero quitando un guijarro para cada uno. Si al final aún quedaban piedrecitas en la bolsa, había perdido una oveja y tenía que ir a buscarla.

Si un extraterrestre es de alguna manera incapaz de nombrar y almacenar mentalmente un valor numérico, aún podría comenzar a usar la aritmética unaria básica como la anterior. Algo así como la suma es un desarrollo trivial; vierta una bolsa en la otra. La resta no se queda atrás; Retire una piedra de cada bolsa a la vez. Cuando una bolsa está vacía, la bolsa no vacía es la diferencia entre ellas.

Este método de almacenar números utilizando artefactos podría revolucionarse aún más al estandarizar un peso para cada "unidad" individual; las comparaciones de números grandes se pueden realizar de forma trivial mediante escalas. Esto permitiría la próxima revolución, un sistema base simplista para compactar el trabajo de realizar operaciones aritméticas.

Pueden decidir introducir un guijarro más pesado, uno tal que su peso sea igual a un número entero de otros guijarros. Dado que no tienen un concepto innato de los números, probablemente sería arbitrario, pero digamos que, en aras de la simplicidad, eligen 10. Hacen un nuevo guijarro que pesa 10 unidades. Luego hacen más y más copias de él, de modo que todas son tan pesadas como la primera. Presumiblemente, también tendría un color diferente o algo así para ser más reconocible como especial. Al realizar la resta, se asegurarían de quitar primero cada par de guijarros más pesados. Si hay una cantidad desigual, use otra escala para medir a cuántas unidades de guijarros corresponde el guijarro más pesado y simplemente viértalos nuevamente en la bolsa, luego continúe de manera normal.

Esta noción de hacer guijarros progresivamente más pesados ​​puede continuar, creando menos guijarros para operar manualmente.

Si los guijarros en una bolsa son inconvenientes (¡ruedan por el suelo si se caen!), uno podría reemplazarlos, por ejemplo, con discos en una varilla (¿o cuerda?) para un almacenamiento más simple a largo plazo. Para los números que deben almacenarse a largo plazo o transportarse lejos, uno podría fundir un poco de metal y convertirlo en algún artefacto de modo que su peso coincida exactamente con el del número correspondiente. (En el extremo receptor, solo tendría que verter guijarros en el otro lado de la escala hasta que coincidan para decodificar a qué número corresponde el artefacto y luego realizar la aritmética de manera normal).

Eventualmente, algunos de los extraterrestres pueden dar un salto lógico aún mayor al almacenar estos datos en papel (o tabletas, lo que sea). Podría comenzar tan simple como "un punto en el papel corresponde a una unidad de peso". Entonces se puede agregar una unidad en una bolsa por cada punto en el papel, lo que permite que los números se transporten más fácilmente (aunque a costa de mucho trabajo para codificar y decodificar el número).

El sistema base se vuelve aún más útil aquí. Es posible que nuevamente decidan usar un símbolo diferente para una cantidad mayor. Pueden decir "un círculo significa un guijarro pesado en lugar de una unidad". Alternativamente, podrían simplemente estandarizar un documento de traducción. Todo el mundo recibe una tableta que dice algo como

• O = ..........
• yo = OOOOOOOOOO
• X = IIIIIIIII

... y así sucesivamente, lo que permite que el sistema numérico escrito se desvíe potencialmente del sistema basado en el peso.

Una vez que tenga números en papel, algunas personas probablemente harán saltos lógicos que les permitan realizar algunas operaciones en papel sin verter piedras en una bolsa o lo que sea. Claro, será mucho más engorroso sin una habilidad innata para mantener los números en tu cabeza, pero es perfectamente factible.

En este punto, me parece que tenemos todo lo que necesitamos para lograr el progreso matemático. Todo será un millón de veces más lento y algunos conceptos (como, por ejemplo, fracciones) pueden ser considerablemente más difíciles de manejar, pero en teoría debería funcionar.

Si luego llegan al punto de construir máquinas, tal vez incluso electrónicas, entonces se acabaron sus problemas. Las máquinas pueden hacerlo todo considerablemente más fácil (¡y más rápido!) que ellos mismos.

Sin embargo, odiaría ver cómo se verían sus lenguajes de programación.

Ampliando los comentarios de Misha y L.Dutch. Como dijo mi abuelo

cuando estás esperando un autobús en una noche de invierno, el único estado es "no aquí".

Diríamos 0.

Cuando estás construyendo una casa, necesitas muchos ladrillos, troncos y otras cosas. ¿Cuántos? Hasta que el edificio sea 1. No necesitas números para tener dimensiones. Es por eso que los estadounidenses miden agujeros en perros y lavadoras. Tienes dedo, palma, pie, pygmē (o antebrazo). Hasta la industrialización, los ladrilleros en Inglaterra tenían sus propias formas, estampadas por el rey. Lo que ahora mismo nos ayuda a identificar al ladrillero solo por el tamaño de los ladrillos que usa para construir una casa.

Diría que el máximo desarrollo es la etapa industrial temprana (mabe preindustrial). Muchos desperdicios durante la producción, pero los suministros son tan excesivos que no detienen la producción. Casi todo se puede cambiar en el método de error/éxito (rueda más grande, rueda más pequeña)

Tenga en cuenta que no necesita números para contar el tiempo. Para el transporte, solo dice que el tamaño de la rueda de pygmē es mejor para el transporte que el tamaño del pie porque va del punto A al B en la longitud de un dedo de un nudo y no en la palma.

La respuesta de Smallhacker brinda otro gran ejemplo de cómo estas personas que "no pueden contar" podrían hacerlo bien, pero me trajo un ábaco a la mente. Si se nos permite permitir el concepto de que "esta cosa es equivalente a una cierta cantidad de otra cosa", entonces también podemos permitir un ábaco.

Incluso alguien que no supiera contar probablemente podría aprender a usar un ábaco y hacer muchas operaciones matemáticas rápida y fácilmente. Podrían producir respuestas matemáticas complejas sin contar nada.

Incluso si no quiere contar un ábaco e insiste en que esencialmente usa un sistema numérico, podemos sugerir que la carrera puede inventar algún otro dispositivo que tenga esencialmente las mismas cualidades pero que no dependa de la naturaleza digital de nuestro propio ábaco. .

Sin números no significa que no haya matemáticas.