El voltaje de salida v es el resultado de integrar dos veces. Entonces, lo que sea que haya antes de las etapas de integración es d ^ 2 v / dt ^ 2 por definición. Dado que ese nodo está fuertemente impulsado por la etapa de ganancia inversora, también debe ser -9 v . De ahí la ecuación diferencial del pie de figura.

¿Quizás la conexión es más fácil de hacer si convierte la ecuación diferencial en la ecuación integral equivalente integrando ambos lados dos veces?

Este no es un ejercicio trivial para principiantes y los autores lo están tentando a ampliar sus habilidades analíticas. PERO COMETIERON ALGUNOS ERRORES.

Como la mayoría verá, este es un oscilador de bucle cerrado con 3 inversores e integradores de 2 polos para hacer un total de 4*180 grados de inversión convirtiéndose en un oscilador de retroalimentación positiva. Sin embargo, decaerá lentamente ya que el margen de fase nunca llega a 0 en la ganancia de bucle de 0dB.

Sí, son dos integradores con retroalimentación de ganancia lineal, por lo que la salida de la derecha se está integrando. Pero la retroalimentación negativa controla esa ganancia de bucle de manera que la amplitud de la condición inicial de 6V se reduce en la raíz cuadrada de los 6V mientras que la frecuencia aumenta en la raíz cuadrada de la ganancia de retroalimentación (-9).

Un mejor ejemplo si desea obtener notaridad y dar a los 3 autores comentarios negativos (corrección de la siguiente manera)

El texto de salida "$v=2sin~3t~ V$"está en radianes, mal
podría leer

$$v(t)=~-~ \dfrac{V_{bat}}{\sqrt{G}} ~ sin ({\dfrac{\sqrt{G}~t}{2\pi RC~}) }$$

No + pecado pero - pecado pero ahora en radianes así,

v(θ)= - 6/√9 sen (√9 θ / 1) = -1.5 sen 3θ ~ (ya que θ=t/2π y$ω_n=2πf_n=1/RC$)

• y no v = 2 sin3t lo cual es incorrecto

Si hacemos la |ganancia| cambia de 9 a 1 con Rin=Rf=90k, la salida del oscilador ahora es

$$v(θ)=-Vbat * sin (θ)$$

Luego, al elevar al cuadrado la "t" en radianes, se obtiene la respuesta en radianes (argh) con constantes para Battery=6 y G=Rf/Rin=9.

El editor lo corta demasiado, y preferimos trabajar la frecuencia en el tiempo en lugar de radianes.

¡Escriba las relaciones, eso es todo!

Como utilizable para un primer intento, tome opamps ideales , eso significa que tienen una resistencia de entrada infinita, resistencia de salida cero, ganancia infinita y ancho de banda infinito --> opamp ideal .

Comience por escribir el comportamiento de un capacitor, que necesitará más adelante:

0

$$i_C = \cfrac{du_c}{dt}\, ,$$

vamos a encontrar fácilmente la ecuación adecuada. Usando un amplificador operacional ideal, la corriente en el circuito se mantiene igual, sin importar si es una resistencia o un capacitor.

Todos los amplificadores operacionales se utilizan en modo inversor: integrador inversor y amplificador inversor.

Por lo tanto, las 3 ecuaciones necesarias para resolver el problema son:

$$\cfrac{v_1}{1M} = - 1\mu F \cdot \cfrac{d v_2}{dt} \qquad(1),\\ \cfrac{v_2}{1M} = - 1\mu F \cdot \cfrac{d v_3}{dt} \qquad(2),\\ \cfrac{v_1}{90k} = - \cfrac{v_3}{10k} \qquad (3) .$$

Resolviendo estas ecuaciones para v_3, con 1Mohm * 1uF = 1s, se obtiene:

$$\cfrac{d^{2}v_3}{dt^2} = - 9 \cdot v_3 \, \quad (4) .$$

Usando el armónico ansatz

$$v_3 = e^{j\cdot \omega_0 \cdot t}$$

y utilícelo en (4), leds para

$$v_3 \cdot \omega_0^2 = 9 \cdot v_3 \, \\ \omega_0 = 3\, .$$

Por lo tanto, la solución es (ignorando el comportamiento transitorio)

$$v_3 = A \cdot \sin (3\cdot t + \varphi_0) \, \quad(5) ,$$

donde A y phi_0 se obtienen resolviendo la ecuación diferencial no armónica (la condición inicial es V_c = 6V).

En t=0, el voltaje de salida v_3 = 0, por lo tanto

$$\varphi_0 = 0 \, .$$

La diferenciación adicional de v_3 (que es igual a v_2) da como resultado

$$v_2 = - \cfrac{dv_3}{dt} = - 3 \cdot A \cdot \sin (3\cdot t)\, .$$

Dado que la salida del integrador 1 (v_2) en t=0 es -6V (condición inicial), tiene

$$-6\, V = -3 \cdot A \, ,\\ A = 2 \, .$$

Por lo tanto el resultado es:

$$\bbox[5px,border:2px solid red]{ v_3 = 2 \cdot \sin (3\cdot t) \, \qquad(6) .}$$

Por lo tanto, por extraño que parezca, la frecuencia del oscilador puede establecerse mediante la ganancia del amplificador inversor.