¿Cómo logran los espectrógrafos que miden velocidades radiales traducir las variaciones en las líneas del espectro de las estrellas en la "velocidad" de la estrella?

Hay muchas maneras de medir el movimiento de una estrella , la velocidad radial (bamboleo) se puede medir usando espectroscopía doppler . El primer exoplaneta descubierto por este método fue 51 Pegasi b por Michel Mayor y Didier Queloz, quienes descubrieron el planeta en diciembre de 1995.

Un inconveniente de este método es que solo puede detectar el movimiento de una estrella hacia o desde la Tierra. Si el plano orbital del planeta está "de frente" cuando se observa desde la Tierra, la oscilación de la estrella será perpendicular a la línea de visión del observador y no se detectará ningún cambio de espectro.

En la mayoría de los casos, el plano orbital de un planeta distante no está "de canto" ni "de frente" cuando se observa desde la Tierra. Lo más probable es que esté inclinado en algún ángulo con respecto a la línea de visión, que generalmente se desconoce. Esto significa que un espectrógrafo no detectaría el movimiento completo de la estrella, sino solo el componente de su bamboleo que la acerca o aleja de la Tierra.

El instrumento ESPRESSO utiliza dos detectores CCD de 90x90 mm, uno sensible al rojo y otro al azul. Los detectores ven la luz después de que se refleja en una rejilla echelle , que está optimizada para su uso en ángulos de incidencia altos y, por lo tanto, en órdenes de difracción altos. Los órdenes de difracción más altos permiten una mayor dispersión (espaciado) de las características espectrales en el detector, lo que permite una mayor diferenciación de estas características.

Las ecuaciones son relativamente simples. La velocidad Doppler observada es$K=V_{\mathrm {star} }\sin(i)$, dónde$i$es la inclinación de la órbita del planeta a la línea perpendicular a la línea de visión.

Referencia:

" Un compañero de la masa de Júpiter para una estrella de tipo solar ", Nature volumen 378, páginas 355–359 (1995), de Michel Mayor y Didier Queloz

Una mejora a las ecuaciones de Mayor y Queloz se ofrece en:

" El efecto Rossiter-McLaughlin y las curvas analíticas de velocidad radial para sistemas planetarios extrasolares en tránsito " (25 de marzo de 2005), por Yasuhiro Ohta, Atsushi Taruya y Yasushi Suto

7. Conclusiones y discusión
Hemos discutido una metodología para estimar la velocidad angular de giro estelar y su ángulo de dirección con respecto a la órbita planetaria para sistemas planetarios extrasolares en tránsito utilizando el efecto RM previamente conocido en estrellas binarias eclipsantes (Rossiter 1924; McLaughlin 1924; Kopal 1990). En particular, hemos derivado expresiones analíticas de la anomalía de la velocidad radial,$\Delta_{vs}$, que son suficientemente precisos para los sistemas planetarios extrasolares. Si se desprecia el oscurecimiento del limbo estelar, la expresión es exacta. Hemos extendido el resultado al caso con oscurecimiento de las extremidades y obtenido fórmulas analíticas aproximadas pero precisas. Para un valor típico de$\gamma = R_p / R_s \sim 0.1$, las fórmulas se reducen a una forma simple (ecuaciones [40], [43], [44], [45], [48] y [49]):

$$\Delta v_s = \Omega s X_p \sin I_s \frac{\gamma^2 \{1-\varepsilon(1-W_2) \} }{ 1-\gamma^2-\varepsilon \{ \frac{1}{3}-\gamma^2 \} } \tag{56}$$

durante la fase de tránsito completa y (lo siguiente es desplazable):

$$\small { \Delta v_s = \Omega_s X_p \sin I_s \frac { (1- \varepsilon) \{ - z_0 \zeta + \gamma^2 \cos^{-1} (\zeta / \gamma) \} + \frac { \varepsilon }{ 1 + \eta_p } W_4 }{ \pi (1- \frac {1}{3} \varepsilon ) - (1 - \varepsilon) \{ \sin^{-1} z_0 - (1 - \eta_p) z_0 + \gamma^2 \cos^{-1} (\zeta / \gamma) \} } \tag {57} }$$

durante las fases de salida/entrada, donde

$$\begin{align} W_2 & = \frac { (R^2_s - X^2_p - Z^2_p)^{1/2} }{ R_s }, \tag {58} \\ W_4 & = \frac {\pi}{2} \, \gamma^{3/2} (2 - \gamma)^{1/2} \, (\gamma - \zeta) \; x_c \frac {g(x_c ; \eta_p , \gamma) }{ g(1- \gamma ; - \gamma , \gamma) }, \tag {59} \end{align}$$

dónde$g(x; a, b)$se define en la ecuación (A17). La definición y el significado de las variables en las expresiones anteriores se resumen en la Tabla 1.

La precisión numérica de las fórmulas anteriores se verificó usando un ejemplo específico del sistema planetario extrasolar en tránsito, HD 209458, y encontramos que tienen una precisión de un pequeño porcentaje . Nuestras fórmulas analíticas para la anomalía de la velocidad radial son útiles de varias maneras. Uno puede estimar los parámetros planetarios de manera mucho más eficiente y fácil, ya que no tiene que recurrir a modelos numéricos computacionalmente exigentes. Además, las incertidumbres resultantes de los parámetros ajustados y sus correlaciones se evalúan fácilmente.

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Tabla 1. Lista de notación
Variables Definición Significado

Parámetros orbitales
$m_p$        Sec.2 Masa del planeta
$m_s$        Sec.2 Masa estelar
$a$          Fig.1 Eje semimayor
$e$          Fig.1 Excentricidad de la órbita planetaria
$\varpi$         Fig.1 Longitud negativa de la línea de visión
$i$           Fig.2 Inclinación entre la dirección normal del plano orbital y el eje y
$r_p$         Ec.[1] Distancia entre estrella y planeta (ver Fig.1)
$f$          Ec.[2] Anomalía verdadera (ver Fig.1)
$E$         Ec.[2] Anomalía excéntrica
$n$          Ec.[3] Movimiento medio
$M$        Ec.[4] Anomalía media

Parámetros internos de estrella y planeta
$Is$        Fig.2 Inclinación entre el eje de giro estelar y el eje y
$λ$          Fig.3 Ángulo entre$z$-eje y vector normal$\hat{n}_p$en$(x, z)$-avión
$Ω_s$         Ec.[12] Velocidad anular de la estrella (ver Fig.2)
$R_s$         Sec.4 Radio estelar
$R_p$         Sec.4 Radio del planeta
$\varepsilon$         Ec.[38] Parámetro de oscurecimiento de las extremidades
$V$           Sec.6 Velocidad superficial estelar,$R_sΩ_s$

Notación Matemática
$X_p$         Sec.4 Posición del planeta
$γ$         Ec.[25] Relación entre el radio del planeta y el radio estelar,$Rp/Rs$
$η_p$          Ec.[28] Ver Fig. 6
$x_0$          Ec.[33] Ver Fig. 6