¿Cómo interactúan los electrones si uno de ellos acaba de salir por las dos rendijas del experimento de la doble rendija?

Este es un intercambio típico entre las propiedades de posición del electrón púrpura y sus propiedades de onda.

Si el electrón naranja está lo suficientemente lejos como para que no influya mucho en el electrón violeta, todo seguirá como antes: el electrón violeta producirá un patrón de interferencia mientras que el naranja dibujará un punto en la placa fotográfica.

Sin embargo, puede intentar acercar el electrón naranja. A medida que lo acerca, aumenta la probabilidad de que sea repelido por el electrón púrpura. La desviación está prácticamente dictada por la posición vertical del electrón púrpura en la imagen, por lo que el electrón naranja mide de facto esta posición.

Si la mayor parte de la interacción repulsiva ocurre cerca de las rendijas, el movimiento del electrón naranja está dominado por la información de la rendija sobre el electrón púrpura. Cuanto más exactamente lo midas, observando la trayectoria del electrón naranja, más perturbarás el patrón de interferencia del electrón púrpura. Cuanto más pueda leer alguna "información de posición" del camino del electrón naranja, menos nítido será el patrón de interferencia del electrón púrpura, y viceversa.

Quiero enfatizar que todos esos problemas se pueden calcular con precisión, solo use la mecánica cuántica adecuada para dos partículas. La función de onda, en la imagen no relativista, es psi(x1,y1,z1,x2,y2,z2,t) donde 1,2 son las etiquetas de los dos electrones. Esta función de onda es antisimétrica bajo el intercambio de x,y,z por 1 y 2 y evoluciona de acuerdo a una ecuación de Schrödinger para 2 partículas y su valor absoluto al cuadrado conoce la probabilidad de que ambos electrones se observen en cualquier par de lugares.

También hay que tener cuidado porque los electrones son indistinguibles, de modo que si se acercan mucho y posiblemente se intercambien, hay que restar (por la estadística de Fermi) las amplitudes en las que se intercambiaron y una en la que tienen no, para mantener su función de onda antisimétrica.

También quiero enfatizar que la repulsión electrostática entre dos electrones en tales experimentos es pequeña y debería describirse más correctamente como un intercambio "cuantificado" de un solo fotón. Tal interacción repulsiva siempre permite la posibilidad de que se emitan fotones adicionales (radiación de cargas aceleradas), y estos fotones adicionales pueden reducir aún más la nitidez general del patrón de interferencia.

Creo que Luboš Motl ha cubierto esto bastante bien, pero tengo la idea de que lo que está buscando es una discusión sobre cómo calcular la densidad electrónica para la combinación de un solo electrón "libre" y otro electrón que ha pasado por el interferencia. Te daré la idea del cálculo sin hacerlo realmente.

Dejar$\psi_p(x)$Sea la función de onda para el electrón púrpura que atravesó la rendija donde$x$significa un punto tridimensional y estoy dejando fuera la variable de tiempo asumiendo que no depende de ella. Esta es una función compleja y cuando la evalúas en la pantalla encontrarás que su magnitud al cuadrado$|\psi_p(x)|^2$te da el patrón de interferencia.

Y deja$\psi_o(x)$Sea la función de onda para el electrón naranja. Entonces la función de onda combinada está antisimetrizada:
$\psi(x_1,x_2) = \psi_o(x_1)\psi_p(x_2) - \psi_p(x_1)\psi_o(x_2)$

Entonces la probabilidad de que obtengas un electrón en el punto$x_1$y el otro en el punto$x_2$es proporcional a$|\psi(x_1,x_2)|^2$. Este cálculo asume que los electrones no interactúan.

Como señala el Dr. Motl, siempre que los dos electrones no se acerquen demasiado, esto será bastante preciso y el resultado será el agujero perforado por el electrón naranja y el patrón de dispersión del otro. Para agregar la interacción, deberá usar la teoría cuántica de campos. En esa teoría, comienzas con el cálculo anterior para$\psi(x_1,x_2)$y agregarle correcciones. La primera corrección será la adición de un solo fotón que es emitido por un electrón y absorbido por el otro.

El cálculo de fotones es un ejemplo de un diagrama de Feynman. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Feynman_diagram
El bonito dibujo es:

y las matemáticas son un poco desordenadas y deberían ser objeto de una pregunta separada.