¿Cómo funciona un cargador inalámbrico sin que un núcleo magnético pase por ambas "bobinas"?

Se recomienda un núcleo de metal porque concentra el campo magnético. Esto hace que el acoplamiento magnético entre las bobinas sea más efectivo, pero también puede hacerlo sin el núcleo, especialmente si ambas bobinas están estrechamente acopladas (mecánicamente cerca una de la otra). Si no tiene un núcleo y las dos bobinas están separadas por cierta distancia, parte del campo generado pasará fuera de la otra bobina.
(En un transformador, el metal exterior "ataca" el campo, aumentándolo. Sin este metal exterior, el campo llenaría un gran volumen alrededor del núcleo).

la corriente alterna en la bobina primaria induce un campo electromagnético alterno en el núcleo y ese campo induce corriente en la bobina secundaria

Sí, pero "en el núcleo" no es necesario. Una bobina crea un campo magnético a su alrededor, ya sea que haya un núcleo allí o no. El núcleo simplemente limita el campo magnético para que haya menos "fugas", lo que hace que el transformador sea más eficiente.

También puede hacer que la transmisión sea más eficiente poniendo un capacitor en serie con ambas bobinas para que resuenen a la misma frecuencia: http://en.wikipedia.org/wiki/Resonant_inductive_coupling

Un buen ejemplo de inducción electromagnética sin núcleo metálico es una etiqueta RFID pasiva, que no tiene batería. En cambio, extrae energía del lector, que envía ondas electromagnéticas que inducen una corriente en la antena de la etiqueta. La distancia entre la etiqueta y el lector puede ser de varias pulgadas. Obviamente, a esta distancia, se puede transmitir muy poca energía, pero ilustra el principio.

Todo lo que se requiere para un transformador es que los campos magnéticos de las dos bobinas estén vinculados. Los núcleos de hierro hacen que esto sea más efectivo en las frecuencias de potencia y audio, pero en las frecuencias de radio (más de unos pocos 100 kHz) los núcleos en realidad se convierten en una desventaja.