¿Cómo explicar el giro del electrón? [duplicar]

La mejor manera de entender el espín es considerar la ecuación de Dirac

$$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi=\left[c\sum_i{\alpha_i p_i}+mc^2\beta\right]\Psi$$

o más compacto:

$$(i\gamma^\mu\partial_{\mu}-m)\psi=0$$

Las soluciones a la ecuación de Dirac son colecciones de campos de valores complejos llamados espinores .

La solución espinora en realidad codifica no solo el espín de la partícula, sino también la existencia de su antipartícula y su espín. Esto significa que el espinor es un vector complejo de cuatro valores:

$$\psi(x) = \begin{bmatrix}\psi^1(x)\\\psi^2(x)\\\psi^3(x)\\\psi^4(x)\end{bmatrix}$$

Donde, por ejemplo, un electrón cargado negativamente con giro hacia arriba se representaría como:

$$\left|e^-,\, +\tfrac{1}{2}\right\rangle = \begin{bmatrix}1\\0\\1\\0\end{bmatrix}$$

El punto de explicarlo de esta manera es transmitir el hecho de que el giro de las partículas solo se manifiesta en la teoría cuántica. De hecho, la existencia de espín de partículas y antipartículas es una prueba prima facie de la teoría cuántica como un medio para explicar el mundo físico; simplemente no hay una contraparte clásica.

Esto a veces es muy difícil de entender para las personas, pero básicamente el giro es una noción de tener un valor en alguna dirección en un espacio vectorial complejo, que es lo más cerca que uno puede llegar a una descripción clásica.

Para partículas masivas, la intuición de pensar en el espín como una rotación es correcta. En el marco de descanso, un enorme ($M^2>0$) la partícula tiene impulso

$$p_0^\mu=(M,0,0,0).$$

Recuerda que la cantidad$p^2=p_\mu p^\mu$, por arbitrario$p_\mu$es invariante bajo transformaciones de Lorentz. En el caso anterior, el subgrupo del grupo de Lorentz que sale$p_0^\mu$invariante es claramente el grupo Rotación. Entonces, si transformamos una partícula masiva descrita por el estado$|p,s\rangle$con una representación unitaria$U(\Lambda)$de una transformación arbitraria de Lorentz$\Lambda$, encontrará que sólo rotará el$s$índice:

$$U(\Lambda)|p,s\rangle=\sum_{s^\prime}D_{ s^\prime s}|\Lambda p,s^\prime\rangle$$

dónde$D_{s^\prime s}$son los elementos de la matriz de rotación$e^{i \vec{J}\cdot\vec{\theta}}$y$J_i$son los tres generadores de rotación del$SU(2)$álgebra.

Entonces, para partículas masivas descritas por$|p,s\rangle$con$M^2>0$, el espín corresponde a$SU(2)$rotaciones Para estados sin masa$M=0$esto ya no es cierto, el índice de giro$s$no se transforma como arriba y pensar en girar como momento angular no funciona.