¿Cómo es que la gravedad del Sol tiene tanta fuerza y ​​atrae al sistema solar? ¿Cómo se escala?

Muchas preguntas se pueden responder usando la ecuación vis-viva :

que da la velocidad de un objeto en una órbita Kepleriana a una distancia$r$de un cuerpo de masa$M$y con un eje semi-mayor$a$.$G$es la constante gravitacional. Y por comodidad y precisión, el producto$GM$o el parámetro gravitacional estándar para el Sol y para la Tierra son 1.327×10 ²⁰ y 3.986×10 ¹⁴ m ³ /s ² .

Para conjunto de órbitas circulares$r=a$y obten

La circunferencia de la órbita$C=2\pi a$y el tiempo para una órbita (período) es$T=C/v = C=2\pi a / v$entonces

La masa de una esfera es

¡y vamos a mantener la densidad del Sol fija en 1408 kg/m ³ , que es solo un 41 % más alta que la del agua! (ver ¿ A qué profundidad debajo de la superficie del Sol la densidad alcanza la del agua? ) Entonces:

o

remate final: Entonces, el período será de un año, es decir, alrededor de 365 días si usamos los valores actuales para$a$y$R$¡o escalarlos hacia arriba o hacia abajo por cualquier factor!

En otras palabras, mientras:

en lenguaje sencillo, de hecho, una pelota de fútbol del tamaño de la densidad del sol mantendrá un objeto del tamaño de una uva (de la misma densidad que el planeta que representa) en la órbita de la misma escala con el mismo período orbital. De hecho, esto reduce toda la escala.

... es casi correcto. Si el Sol fuera una bola de 22 cm de diámetro con la misma densidad promedio de 1,4 g/cm^3, y la Tierra del tamaño de una semilla de sésamo estuviera a 47,4 metros de distancia con un diámetro de 2 milímetros y la misma densidad promedio de 5,5 g/cm^2 , entonces orbitaría el Sol del tamaño de una pelota de fútbol una vez al año, a menos que hubiera fuerzas externas tirando de él desde otro objeto astronómico.

Alternativamente, podría mantener el Sol, la Tierra y todos los planetas del mismo tamaño y distancia, pero hacerlos cien veces menos densos, y los períodos orbitales serían$\sqrt{\text{100}} =$10 veces más.

En realidad, esta es una variante de la regla general de que el período de una órbita baja alrededor de un cuerpo esférico está inversamente relacionado con la raíz cuadrada de la densidad. Entonces, una partícula de polvo que orbita un trozo esférico de 1 metro de diámetro de la "Tierra promedio" orbitará en aproximadamente 90 minutos, al igual que la ISS orbita alrededor de toda la Tierra en aproximadamente 90 minutos.

Pero siempre puede reemplazar una distribución de masa esféricamente simétrica con una distribución de masa esféricamente simétrica más pequeña (incluso un punto).

No es lo mismo, pero es similar a lo que se discute en esta respuesta a Delta-V requerido para el despegue de un planeta/asteroide