¿Cómo entra épsilon en el exponente de la luz?

Question

¿Cómo entra épsilon en el exponente de la luz?

Carlos Tucker 3

En el mundo de la óptica , cuando la luz (asumida como una onda electromagnética plana que tiene un número de onda complejo) $k_0$ ),

mi = {mi}_{0} \cdot {mi}^{i (k X - ω t)}

$E = E_0 \cdot e^{i(kx-\omega t)}$ viaja de un medio (por ejemplo, el vacío) a otro (indicado por el índice

M

$M$ , por ejemplo, un poco de vidrio), su longitud de onda cambia de

λ_{0}

$\lambda_0$ a

λ_{M}

$\lambda_M$ y está amortiguado. Describimos que usando el índice de refracción

\tilde{n}

$\tilde{n}$ del medio

M

$M$ :

\tilde{norte} = norte + i k

$\tilde{n} = n + i \kappa$ El número de onda complejo dentro del medio es entonces

k_{M} = k_{0} \cdot \tilde{n}

$k_M = k_0 \cdot \tilde{n}$ . Esto da

mi = {mi}_{0} \cdot {mi}^{- \frac{2 π}{λ_{0}} \cdot k} \cdot {mi}^{i (\frac{2 π}{λ_{METRO}} X - ω t)}

$E=E_0 \cdot e^{-\frac{2 \pi}{\lambda_0}\cdot \kappa} \cdot e^{i(\frac{2\pi}{\lambda_M} x - \omega t)}$ donde la primera e-función describe la amortiguación y vemos la longitud de onda cambiada

λ_{M}

$\lambda_M$ dentro del medio en el segundo exponente, por lo que en total una onda amortiguada de diferente longitud de onda.

El índice de refracción complejo consiste básicamente en la permitividad relativa (compleja) $\epsilon_r$ :

\tilde{norte} = \sqrt{ϵ_{r} m_{r}} \approx \sqrt{ϵ_{r}}

$\tilde{n} = \sqrt{\epsilon_r \mu_r} \approx \sqrt{\epsilon_r}$ (para

μ_{r} \approx 1

$\mu_r \approx 1$ , lo que creo que es cierto para la mayoría de los materiales dieléctricos a frecuencias en el rango espectral visible).

Ahora, en el mundo electromagnético , cuando un campo E entra en un medio de permitividad $\epsilon_r$ , entonces el campo de desplazamiento $D$ es

D = ϵ_{0} ϵ_{r} mi

$D = \epsilon_0 \epsilon_r E$ y como se discute en Wikipedia ( https://en.wikipedia.org/wiki/Permittivity ), la permitividad da como resultado amortiguamiento y una diferencia de fase entre

D

$D$ y

E

$E$ , que supongo que es la causa del cambio de longitud de onda descrito por la parte real del índice de refracción en el mundo de la óptica (corríjanme si es incorrecto)?

En esta ecuación, la permitividad es solo un factor para $E$ , mientras que en el mundo de la óptica, está en el exponente como parte del índice de refracción. Pero ambos puntos de vista deben ser consistentes... Entonces, ¿cómo entra la permitividad en el exponente?

Respuestas (1)

¿Cómo entra épsilon en el exponente de la luz?

Michael Seifert · Answer 1

Como ocurre con tantos aspectos de la electrodinámica, podemos aclarar las cosas volviendo a las ecuaciones de Maxwell.

En ausencia de cargas libres, los campos en un medio obedecen

\begin{aligned} (1) & \vec{\nabla} \cdot \vec{D} & = 0 \\ (2) & \vec{\nabla} \cdot \vec{B} & = 0 \\ (3) & \vec{\nabla} \times \vec{mi} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} & = 0 \\ (4) & \vec{\nabla} \times \vec{H} - \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \vec{\nabla}\cdot\vec{D} &= 0 \tag{1}\\ \vec{\nabla}\cdot\vec{B} &= 0 \tag{2} \\ \vec{\nabla}\times\vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} &= 0 \tag{3}\\ \vec{\nabla} \times \vec{H} - \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} &= 0 \tag{4} \end{align}$ Para un medio isotrópico, lineal, no magnético, no dispersivo, las Ecuaciones (1) y (4) son equivalentes a (respectivamente)

\begin{aligned} (5) & \vec{\nabla} \cdot \vec{mi} & = 0 \\ (6) & \vec{\nabla} \times \vec{B} - m_{0} ϵ_{0} ϵ_{r} \frac{\partial \vec{mi}}{\partial t} & = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \vec{\nabla}\cdot\vec{E} &= 0 \tag{5}\\ \vec{\nabla} \times \vec{B} - \mu_0\epsilon_0 \epsilon_r \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} &= 0. \tag{6} \end{align}$ Tomando la derivada temporal de esta última ecuación y combinándola con (3) y (5) se obtiene

\nabla^{2} \vec{mi} - \frac{ϵ_{r}}{C^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{mi}}{\partial t^{2}} = 0,

$\nabla^2 \vec{E} - \frac{\epsilon_r}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}= 0,$ donde hemos identificado

μ_{0} ϵ_{0} = 1 / c^{2}

$\mu_0 \epsilon_0 = 1/c^2$ .

Podemos ver que esta es una ecuación de onda con una velocidad de propagación de $c/\sqrt{\epsilon_r}$ . Esto significa que la velocidad a la que se propagan las ondas se verá afectada por la permitividad del medio, por lo que terminará con una $\epsilon_r$ "en el exponente" cuando miras una solución de onda plana.

A nivel físico, lo que está pasando aquí (más o menos) es que el campo magnético $\vec{B}$ está respondiendo tanto al campo eléctrico cambiante como a las corrientes de polarización ( $\vec{J}_d \equiv \partial \vec{P}/\partial t$ , lo que equivale $\epsilon_0 \chi_e \partial \vec{E}/\partial t$ para un medio lineal). De la ecuación. (6), podemos ver que la escala espacial de variación de $\vec{B}$ disminuirá para una tasa de cambio temporal dada de $\vec{E}$ . (Asumiendo $\chi_e > 0$ , lo que implica que $\epsilon_r > 1$ .) En otras palabras, $k$ aumenta por un fijo $\omega$ , lo que lleva a una velocidad de fase $\omega/k$ eso es mas bajo

muchas gracias por esta buena respuesta! Tuve que pensar en el último párrafo, pero creo que lo entendí ahora: en la ecuación. 6, dE/dt permanece constante cuando el fotón ingresa a otro medio óptico porque la frecuencia permanece constante. Sin embargo, si $\epsilon_r$ aumenta, todo el término con dE/dt aumentará y, por lo tanto, rot(B) debe aumentar. Como rot B contiene derivadas espaciales, el cambio de B con la distancia aumenta, es decir, B gira más rápido, pero el torbellino es más pequeño. Y por lo tanto, la longitud de onda es más pequeña (rotar B a su vez produce un campo E, que es como se propaga la luz...). ¿Es eso correcto?
@CharlesTucker3: Sí, eso es a lo que intentaba llegar en el último párrafo de una manera ondulada a mano.

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Carlos Tucker 3

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Michael Seifert

Carlos Tucker 3

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