¿Cómo entender el proceso de la fórmula de la energía cinética? [duplicar]

En pocas palabras, la energía cinética se puede calcular mediante el proceso básico de calcular el trabajo (W) que realiza una fuerza (F). Si el cuerpo tiene una masa de m que fue empujado una distancia de d sobre una superficie con una fuerza que es paralela a ella.

$W=F.d=m.a.d$

La aceleración en esta ecuación puede ser sustituida por la inicial$(v_i)$y final$(v_f)$la velocidad y la distancia. Esto lo obtenemos de las ecuaciones cinemáticas del movimiento.

$W=m.a.d\\ \\ =m.d.\frac{v_{f}^{2}-v_{i}^{2}}{2d}\\ \\ =m.\frac{v_{f}^{2}-v_{i}^{2}}{2d}\\ \\ =\frac{1}{2}.m.v_{f}^{2}-\frac{1}{2}.m.v_{i}^{2}$

La cantidad básica de energía cinética (K)$\frac{1}{2}mv^{2}$cambia cuando una determinada suma de trabajo actúa sobre un objeto.

$K.E=\frac{1}{2}mv^{2}$

El trabajo total que se realiza sobre un sistema es equivalente al cambio en la energía cinética. De este modo,

$W_{net}=\Delta K$

La respuesta a esta pregunta tiene sus raíces en las propiedades de simetría del espacio y el tiempo. Elegiré el formalismo lagrangiano de la mecánica clásica para responder a la pregunta, donde el lagrangiano$\mathcal{L}$es una función escalar que es la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial.

Sabemos que el espacio es homogéneo e isotrópico, y el tiempo es homogéneo. Para una partícula libre, se sigue que el lagrangiano$\mathcal{L}$debe tener las siguientes propiedades:

1. $\mathcal{L}$no debe depender de la coordenada de posición.
2. $\mathcal{L}$no debe depender del vector velocidad. Más bien debería depender de la magnitud de la velocidad, es decir, alguna potencia del vector de velocidad.
3. $\mathcal{L}$no debe depender de la coordenada de tiempo.

Entonces la forma general del lagrangiano sería

$$\mathcal{L}(x,v,t)=\alpha v^n$$ dónde$\alpha$es una constante Ahora, podemos evaluar el impulso usando la relación $$p=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial v}=\alpha nv^{n-1}$$ Sabemos que el impulso es una función lineal de la velocidad. Esto es posible sólo cuando$n=2$en la expresión anterior.

La función lagrangiana se escribe como$\mathcal{L}=T-U$, dónde$T$es la energía cinética y$U$es la energía potencial. Dado que estamos considerando una partícula libre (que solo tiene energía cinética), el lagrangiano (eligiendo$n=2$) es

$$\mathcal{L}=T=\alpha v^2$$ Por lo tanto, la energía cinética es proporcional a$v^2$y no cualquier otro poder de$v$.