¿Cómo cambian los elementos orbitales cuando se aplica una fuerza ortogonal al vector de velocidad?

Digamos que estás parado en la Luna, con la Tierra directamente sobre tu cabeza (la Luna está bloqueada por mareas con la Tierra. En este punto, tú y la Luna comparten una órbita, ambos experimentan los mismos elementos orbitales.

Te subes a un cañón que tiene la fuerza suficiente para que alcances la velocidad de escape (o, tal vez más apropiadamente, abandones la esfera de influencia de la Luna). Aprieta el gatillo y la fuerza se aplica ortogonalmente a tu vector de velocidad.

¿En qué se diferencia tu nueva órbita de la de la Luna? ¿Qué elementos orbitales cambiaron en este proceso? ¿Disminuiría su período orbital relativo a la luna?

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Todas estas respuestas son realmente geniales, pero hice las cosas demasiado complicadas al involucrar a la luna. En cambio, más simplemente, ¿cómo cambian los elementos orbitales cuando se aplica una fuerza ortogonal al vector de velocidad de una masa en órbita? Piense en un satélite en OSG.

Un poco, pero no tienes los elementos orbitales de la Luna. De hecho, su trayectoria no es una órbita. Estás a un radio lunar del centro de la Luna, y estás girando en sentido contrario al movimiento orbital de la Luna para mantenerte mirando hacia la Tierra. Entonces, su trayectoria está bastante cerca de una órbita cuyo semieje mayor es un radio lunar menor que el semieje mayor de la Luna, pero el período de su trayectoria es el de la Luna. Su "órbita" no coincide con su período de órbita. Tu camino no es una órbita.
El título del hilo hace una pregunta bastante diferente a la pregunta en sí. Sugiero volver a hacer la pregunta planteada en el título. Deshazte de la Luna. Es un factor de complicación. Pregunte en cambio qué sucede cuando una nave espacial en órbita dispara ortogonalmente a su vector de velocidad.
Estoy de acuerdo. La pregunta se volvió más complicada de lo previsto, pero las respuestas fueron lo suficientemente creativas como para que realmente disfruté leyéndolas.
Haga una nueva pregunta en lugar de actualizar esta.
La nueva pregunta es muy diferente de la original. Ahora me arrepiento de haber invertido tiempo y energía en ejecutar un simulador de n-cuerpos. También es vago: hay una multitud de direcciones ortogonales al vector de velocidad. Asumiré que te refieres directamente hacia abajo. ¿Y cuál es la forma de la órbita? Asumiré que te refieres a circular. Cambiaría el ángulo de la trayectoria de vuelo. El nuevo perigeo estaría a menos de 180 grados por delante. También aumentaría un poco el semieje mayor y el período, dependiendo de cuánta fuerza se aplique.
Ah, lo siento si es vago. No se moleste por ejecutar el simulador de n-cuerpos, fue genial y estoy seguro de que al practicarlo adquirió más experiencia. No parece una pérdida total. Me ayudó a entender POR QUÉ mi pregunta era engañosa, muy útil en ese sentido. Por "ortogonal al vector de velocidad" me refiero al vector de fuerza centrípeta. Pensé que estaba bien usarlos indistintamente. Ahora veo que es más confuso que nada.

Respuestas (3)

¿Disminuiría su período orbital relativo a la luna?

Algo sorprendente, sí. Terminarás en una órbita ligeramente más pequeña alrededor de la Tierra con un período ligeramente más pequeño. Eso suponiendo que (1) una cónica parcheada es un enfoque válido (probablemente no lo sea en este caso), y (2) he hecho bien mis cálculos.

Asumiré que la Luna está en una órbita circular a 384500 km, moviéndose a 1,022 km/s en relación con la Tierra. Asumiré que disparas el cañón al punto subterráneo a una velocidad de 2,375 km/s, apuntando directamente hacia la Tierra.

Usando una aproximación cónica parcheada, estás en una trayectoria parabólica radial. Se necesitarán 1,315 días o 0,04814 meses siderales para alcanzar una distancia de 66 000 km desde el centro de la Luna (ese es el radio de la esfera de influencia de la Luna; cf. el radio de 60 000 km de la esfera de la Colina de la Luna), punto en el que se alcanzarán los 2,375 km iniciales. la velocidad en km/s se habrá reducido a 0,3854 km/s .

Convirtiendo a coordenadas geocéntricas, estarás a 322100 km del centro de la Tierra y te desplazarás a una velocidad de 1,195 km/s en relación con la Tierra.

Usando la ecuación vis-viva, esto significa que estarás en una órbita elíptica alrededor de la Tierra con un semieje mayor de 380700 km . Esa órbita tiene un período de 27.056 días .

No te quedarás en esa órbita por mucho tiempo. La Luna va a perturbar esa órbita a lo grande.

+1 No hice matemáticas (falta de tiempo) pero ¿estás seguro de que el período orbital cambia mucho? De lo contrario, parece correcto, aumentaría la excentricidad y disminuiría el periapsis en un extremo y aumentaría la apoapsis en el otro. Debería tener una precesión significativa, aunque me imagino que eventualmente se establecería en una órbita de roseta alrededor de la Tierra con apoapsis translunar.
No importa, no vi todos los enlaces a WolframAlpha. De hecho, es bastante sorprendente. :)
Sí, es sorprendente. Mi suposición inicial fue que el período aumentaría porque disparar el cañón agrega energía. La Luna roba la mayor parte de esa energía cuando el proyectil cae hacia la Tierra. Tenga en cuenta que si la Luna no estuviera allí, disparar ortogonalmente a 2,38 km/s a una órbita circular a 384500 km daría como resultado una trayectoria hiperbólica. La velocidad de escape de la Tierra a esa distancia es de solo 1,44 km/s.
Mi suposición inicial fue que no cambia el período orbital/eje semi-mayor y simplemente aumenta la excentricidad orbital, ya que el nuevo vector hacia el foco es ortogonal al vector de velocidad orbital (por lo que no se cancela). Agrega energía, pero también hace que el proyectil se acerque más al SOI de la Tierra, así que supuse que más o menos se cancelarían entre sí... eventualmente. Ahora me pregunto cuántas órbitas faltan para que golpee la Luna de nuevo... Si (cuándo) encuentro el tiempo, encenderé el GMAT y veré con qué sale. Debe ser divertido. :))
Que impulsar ortogonalmente a una órbita circular no cambia mucho el período orbital/eje semi-mayor es una aproximación razonable si Δv/v es mucho menor que 1. Aquí, Δv/v es 2.38. Esa aproximación no se cumple en este caso.
Buena llamada, sí, eres absolutamente perfecto allí.
Mi intuición original era incorrecta. Esa intuición original se basó en suponer que la energía y el momento angular del proyectil son cantidades conservadas. Si bien son cantidades conservadas en el problema de dos cuerpos, ese ya no es el caso en el problema de tres cuerpos (o n-cuerpo). Por supuesto, la energía total y el momento angular se conservan, pero la energía del cuerpo individual y el momento angular no.
Lo integré numéricamente, y tienes razón, la energía específica del proyectil en relación con la Tierra en la primera órbita es menor que la de la Luna. Después de eso, la Luna puede hacer que suba o baje.
De hecho, en un caso lo conseguí para escapar del sistema Tierra-Luna.
La energía orbital de un solo objeto en el escenario de 3 cuerpos puede variar. Así semi-eje mayor no es invariante. La cantidad de Jacobi es la invariante de un objeto en un escenario de 3 cuerpos.
@MarkAdler - Re De hecho, en un caso lo conseguí para escapar del sistema Tierra-Luna . De ahí la última línea de mi respuesta: "No te quedarás en esa órbita por mucho tiempo. La Luna va a perturbar esa órbita". , a lo grande".
Sí, que habría cambios dramáticos en la órbita (por ejemplo, excentricidad y orientación) era obvio para mí, pero que habría cambios dramáticos en la energía no lo era. Ahora lo que para mí es obvio se ha actualizado notablemente, sobre todo viendo que incluso puedes escapar.
Esta respuesta es incorrecta. Las cónicas parcheadas son una mala aproximación. Como se muestra en otra parte de este hilo, pequeñas diferencias en la velocidad pueden hacer grandes diferencias en las órbitas. Pero, en general, no obtendrá un semieje mayor de 380 700 km ni un período de 27 056 días.
@HopDavid: podría decir lo mismo sobre tu respuesta. El tuyo también es incorrecto. Está sujeto a importantes imprecisiones numéricas. Mi respuesta es bastante cercana, y califiqué la dudosa aplicabilidad del enfoque cónico parcheado en mi párrafo principal. Ciertamente exageré la precisión. Esta respuesta es correcta en un sentido cualitativo en el sentido de que el semieje mayor osculador de una simulación de muy alta calidad es menor que el de la órbita de la Luna. Este resultado va en contra del pensamiento intuitivo (incorrecto) de que el período aumentará.
A la velocidad de escape, el semieje mayor no sería un poco menor, sería sustancialmente menor, más cercano a los 300.000 kilómetros con un período de 20 días. Pero solo ligeras variaciones en la velocidad hacen grandes cambios en las órbitas. Esto es lo que indican mis sims. Inicialmente, tanto usted como Mark Adler dieron respuestas incorrectas. Entonces Mark cambió su respuesta usando 3 simulaciones corporales. Ahora sus resultados son similares a los míos. Sí, hay algunas imprecisiones numéricas en mi sim. Pero tu respuesta está muy lejos.
@HopDavid: mi simulación (y es una simulación muy buena; utiliza una herramienta verificada masivamente) da un eje semi-mayor osculador de 377,220 km en el momento en que el proyectil sale del SOI de la Luna. Esa cifra de 380.700 km no está tan lejos de ese valor simulado. El SMA disminuye después de eso, pero no a 300.000. En cuanto a "dar respuestas incorrectas", mire el historial de edición. Esta fue mi única respuesta, y no ha cambiado mucho.
Sí, su primera y única respuesta fue incorrecta y sigue siendo incorrecta. Sin embargo, la respuesta de Mark Adler cambió sustancialmente. Al igual que tú, estaba pensando en la mecánica de dos cuerpos. Entonces vio su error y corrigió su respuesta. Cuando el proyectil alcanza EML1 no está en una órbita elíptica. Pero supongamos que lo es. En EML1, r es de aproximadamente 327 000 km. Introduce esta r y tu a en la ecuación de vis viva y obtendrás una velocidad de 1,18 km/s. El apogeo mínimo es de 426.000 km, mucho más allá de la luna. Ahora mira los sims de Adler. Al igual que mis sims, sus proyectiles caen a un perigeo de menor altitud en lugar de elevarse a un apogeo más alto.
Mide las elipses en las ilustraciones de Adler. La mayoría tiene un eje semi-mayor de alrededor de 300.000 km. Su -.0981 tiene un perigeo de unos 100.000 km y un apogeo de unos 300.000 km. Los apogeos y perigeos de sus elipses son bastante similares a los míos. Entonces, su herramienta verificada masivamente parece estar contradiciendo sus resultados y los míos.

"Tu nueva órbita" no es simplemente una órbita de dos cuerpos alrededor de la Tierra en la que podrías estar pensando, ya que la Luna todavía está allí después de que (apenas) escapes. A largo plazo, será una trayectoria complicada que eventualmente resultará en que impactes en la Luna, escapes del sistema Tierra-Luna o posiblemente incluso impactes en la Tierra. Entonces, el concepto de elementos orbitales no es muy útil.

Sin embargo, puede imaginar un período orbital efectivo cuando está orbitando la Tierra pero está lejos de la Luna. Eso está relacionado con su energía específica total, donde si es menor que la de la Luna, su período orbital es menor que el de la Luna, y viceversa.

Aquí hay algunos ejemplos de su trayectoria en la que es lanzado a la velocidad de escape lunar o un poco por encima de ella. (El círculo gris es la órbita de la Luna. El disco azul en el medio es la Tierra a escala).

Debajo de cada trayectoria se muestra tu energía específica en el sistema Tierra-Luna. Puedes ver que inicialmente siempre es menor que el de la Luna (la línea gris), por lo que tu "período orbital" es más corto que el de la Luna. Pero puede pasar por encima de la Luna después de algunos sobrevuelos lunares, y generalmente lo hace. Donde la trama no llega hasta el final, impactó a la Luna donde terminó. En un caso, puedes ver que escapas completamente del sistema Tierra-Luna.

gráficas de trayectorias y energía específica

Aquí hay algunos casos límite interesantes. Por debajo de 0,978, todos hacen lo mismo: reimpactan inmediatamente.

parcelas de casos límite

Pruebe algunas carreras con una velocidad ligeramente inferior a la de escape, por ejemplo, el 99 % de la velocidad de escape (-0,99 veces el escape según los títulos de sus gráficos), tal vez hasta el 98,5 % de la velocidad de escape. Mucho menos que eso y el proyectil cae hacia la Luna.
Sí, los hice y se comporta de la misma manera. − 0.99 . También los he corrido + 1 , donde el código comienza automáticamente en el punto lejano de la Luna y se dispara hacia arriba.
Prueba más bajo aún más bajo. Las cosas se ponen raras cuando el proyectil apenas tiene energía suficiente para escapar del SOI de la Luna (~66000 km).
Para salir de la esfera de influencia de la luna, basta con acercar el apoluno a EML1. Desde el punto cercano de la luna hacia arriba, eso requiere alrededor del 98% de la velocidad de escape.
No confío demasiado en los resultados, ya que no tengo detección de impacto en el código. Dirigí casos allí y aún más abajo, y son bastante raros. (Término técnico). Sin embargo, probablemente hubo impactos con la Luna. Podría considerar poner en tal detección...
Je, estos son incluso más geniales de lo que esperaba, los gráficos de energía específicos están por todas partes con cambios tan pequeños en la velocidad inicial. ¿Cuál es la masa del proyectil? ¿Ha intentado lanzarlo en diferentes fechas? ¿El software que está utilizando es de alto secreto (uno de esos que debe solicitar y luego la NASA amablemente le dice que no es ciudadano estadounidense y está fuera de los límites LOL), o podemos tener un enlace por favor? :)
De hecho, detecté manualmente un impacto de 0,979 veces la velocidad de escape.
@TildalWave: estoy ejecutando casos idealizados, no del mundo real con la Luna en una órbita perfectamente circular y la Tierra fija en el baricentro. Toda esta complejidad existe en el caso idealizado. Son solo unas pocas líneas de código de Mathematica. La masa del proyectil no entra en la ecuación.
Implementé la detección de impactos y agregué algunos casos límite interesantes. También actualicé la primera trama, ya que no me di cuenta antes de que impactara.
Ahí es donde obtengo impactos, aproximadamente al 98% de la velocidad de escape. Dale la velocidad suficiente para que apenas se escape y deberías obtener una órbita bastante excéntrica alrededor de la Tierra. Hasta que el proyectil y la Luna se acerquen, eso es.
Para mi modelo, utilicé las efemérides de Horizon para capturar vectores de posición y velocidad en 6 momentos diferentes. Mi modelo incluye el sol, así como la tierra y la luna. Empecé en luna llena, luego avancé 1/6 de un día lunar sideral. Empujar partículas de EML2 en una luna llena o nueva puede arrojarlas más allá del sol-tierra L1 o L2 y fuera de la esfera de influencia de la tierra. Haciendo el mismo empujón desde una media luna, la bolita regresará a la tierra.
Recibo impactos en menos de 10 7 segundos en muchos valores entre 0.98 y 1 . P.ej 0.992 . Si fuera más largo, obtendría más, incluso por encima 1 .
@MarkAdler: esas colisiones pueden ser solo un artefacto de cómo está haciendo la integración. Intente usar precisión extendida e intente usar diferentes integradores. Estos casos límite son problemas rígidos, siendo la rigidez transitoria. La precisión numérica se verá afectada si realiza toda su integración en el marco del baricentro Tierra-Luna. Es mejor cambiar entre un marco selenocéntrico y geocéntrico cuando el objeto cruza el SOI de la Luna. (Usé a un pasante de posgrado en un problema muy similar hace varios años).
el ejemplo para 0.992 hace exactamente lo mismo, incluido impactar, con 60 dígitos de precisión y otros métodos de integración de tiempo. Así que no es un artefacto numérico, aparte de los números que utilicé para los parámetros físicos. Sin embargo, todo es un ejemplo artificial, por lo que no significa mucho excepto para observar el comportamiento general.

simulador de 3 cuerpos

Aquí hay una captura de pantalla de un simulador orbital para una variedad de perdigones lanzados directamente desde el punto cercano de la luna. El perdigón rojo #1 está justo por debajo de la velocidad de escape. El azul # 11 es un pelo más. Tidalwave, el punto azul es la tierra. La órbita blanca es la luna. Coloqué gránulos de colores más oscuros en EML1, EML2, así como en EML4 y EML5.

Los perdigones arcoiris son de lo que yo llamo escopeta orbital. La velocidad y dirección de los perdigones varían de un extremo (perdigones uno) a otro (Perdigones 11). Esta es la página que usé para hacer esta simulación: Escopeta orbital Hacer incrementos de tiempo más pequeños hace que el modelo sea más preciso pero más lento. Tuve que hacer incrementos de tiempo bastante pequeños para este simulador. Se puede ver que la pastilla 1 no pasa del todo EML1 y vuelve a caer a la luna. El resto de los gránulos escapan de la esfera de influencia de la luna y caen en órbitas centradas en la tierra.

En general, los perdigones golpearán la tierra, la luna o serán expulsados ​​por completo. Solo una pequeña variación en la velocidad puede marcar una gran diferencia en el resultado. En este diagrama, el perdigón más rápido varía del más lento en 0,6 metros/segundo:ingrese la descripción de la imagen aquí

¿Cómo cambian los elementos orbitales cuando se aplica una fuerza ortogonal al vector de velocidad?
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