¿Cómo calcular la fuerza gravitatoria de un agujero negro fuera del horizonte de sucesos a una distancia dada rrr? [duplicar]

Responderé primero a la segunda pregunta, ya que me resulta más fácil en los cálculos y dado que el cálculo de la primera pregunta es similar, solo comentaré y dejaré los detalles para usted.

En primer lugar, no hay órbitas circulares estables bajo$r=3r_s$y sin órbitas circulares debajo$r=3r_s/2$para el agujero negro de Schwarzschild.

Ahora, la línea de tiempo del satélite en órbita circular es$x^\mu(t)=(t,r,\pi/2,\omega t)$, dónde$\omega$es la velocidad angular en coordenadas de Schwarschild. Por lo tanto, podemos calcular 4 velocidades:

$$v^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}=(1,0,0,\omega)\frac{dt}{d\tau},$$ dónde$\tau$es el tiempo propio a lo largo de la curva, es decir: $$d\tau^2=g_{tt}dt^2+g_{\phi\phi}\omega^2dt^2=dt^2\left(g_{tt}+g_{\phi\phi}\omega^2\right).$$ Por lo tanto, la 4-velocidad es: $$v^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}=(1,0,0,\omega)\frac{1}{\sqrt{g_{tt}+g_{\phi\phi}\omega^2}}.$$

Tenga en cuenta que la velocidad 4 en estas coordenadas es constante. Por lo tanto, la aceleración de 4 está simplemente dada por los símbolos de Christoffel:

$$a^\lambda=\Gamma^\lambda_{\nu\mu}v^\mu v^\nu.$$

Estamos interesados ​​en componentes distintos de cero, por lo que sólo en$\Gamma^\lambda_{tt}$,$\Gamma^\lambda_{t\phi}$,$\Gamma^\lambda_{\phi t}$,$\Gamma^\lambda_{\phi\phi}.$Puede buscar en Google o calcular que de estos, los únicos distintos de cero son

$$\Gamma^r_{tt}=-\frac{r_s}{2r^2}g_{tt}$$ $$\Gamma^r_{\phi\phi}=r g_{tt}$$

Por supuesto, la órbita circular es geodésica, por lo que no hay aceleración. Por lo tanto exigimos:

$$0=\Gamma^r_{tt}v^t v^t+\Gamma^r_{\phi\phi}v^\phi v^\phi$$ y usa esto para calcular$\omega:$ $$0=-\frac{r_s}{2r^2}+\omega^2r \Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{r_s}{2r^3}}.$$ Ahora la velocidad de orbitar depende del observador. Si tomamos un observador en reposo en coordenadas de schwarzshild, este medirá la velocidad como: $$v=\frac{\sqrt{g_{\phi\phi}}d\phi}{\sqrt{-g_{tt}}dt}=\omega\sqrt{\frac{g_{\phi\phi}}{-g_{tt}}}=\sqrt{\frac{r_s}{2r^3}\frac{r^2}{1-\frac{r_s}{r}}}=\sqrt{\frac{r_s}{2(r-r_s)}}.$$

Como puedes ver, esto te dará la velocidad de la luz.$v=1$para$r=3r_s/2$. Así que esta es la órbita circular más cercana que puede existir.

Ahora puedes hacer el mismo cálculo para obtener la "fuerza" gravitatoria a cierta distancia.$r$. Pero primero date cuenta, no hay fuerza gravitatoria en GR. Pero hay una aceleración. Entonces puedes calcular la aceleración 4 de algún objeto de la misma manera que lo hice y luego mira qué tipo de fuerza está produciendo esta aceleración. Si este objeto está en reposo con un agujero negro (es decir, sigue la línea del mundo$x^\mu(t)=(t,0,0,0)$en coordenadas de Schwarzschild), esta fuerza necesaria para mantener el objeto en su lugar representará la fuerza de atracción que ejerce la gravitación sobre el objeto, aunque conceptualmente esto no es lo que realmente está sucediendo. Te dejo el cálculo a ti.