¿Cómo calcular el desplazamiento Doppler para trayectos múltiples a partir de objetos en movimiento?

No creo que ninguna de sus dos expresiones para las expresiones de desplazamiento Doppler sea correcta. Veamos primero el primer problema, sin la pared reflectante.

En el momento$t=0$, supongamos que la distancia del radar al objetivo es$d$. Entonces, el retardo de ida y vuelta de la señal emitida por el radar es$\tau(0)=2 d/c$. Debido a este retraso, la fase de la señal reflejada cuando regresa al radar es$\phi(0) = -2\pi f_s \tau(0) = -4\pi f_s/c d = -4\pi d/\lambda$, dónde$\lambda$es la longitud de onda de la señal.

En el momento$t=dt$, el objetivo se ha movido$v \cdot dt$. Sin embargo, la distancia entre el radar y el objetivo se ha reducido solo en$v \cos(\theta) \cdot dt$a$d-v \cos(\theta) \cdot dt$; el movimiento en la dirección perpendicular,$v \sin(\theta) \cdot dt$no afecta la distancia si$d$es lo suficientemente grande, esa es la suposición de campo lejano. Procediendo como arriba, la fase de la señal entrante es$\phi(dt) = -4\pi f_s/c (d-v \cos(\theta) \cdot dt)$.

Entonces, el desplazamiento Doppler es$1/(2\pi)$veces la tasa de cambio en la fase$\phi$, es decir,

Para el caso de la reflexión, primero transforme la geometría del problema de la siguiente manera para simplificar el análisis. Trate la pared reflectante como un espejo y mueva el receptor a su ubicación de imagen especular, es decir, al otro lado de la pared. Luego, en lugar de mirar el reflejo de la pared, deje que el rayo que se refleja en el objetivo atraviese la pared hasta el receptor. Esta transformación conserva todas las distancias, que vimos arriba son críticas para el problema.

Usted indicó en su figura que el ángulo de salida del rayo en el objetivo es$\theta_2$y el ángulo de entrada es$\theta_1=\theta$. Entonces, podemos aplicar el mismo análisis anterior y encontrar que en el tiempo$t=dt$el rayo del transmisor al objetivo se acorta por$v \cos(\theta_1)\cdot dt$y el rayo desde el objetivo hasta el receptor (reflejado) se acorta por$v \cos(\theta_2)\cdot dt$. Por lo tanto, el desplazamiento Doppler se convierte en:

No sé la respuesta, pero tal vez pueda dar alguna contribución de pensamiento:

Para mí está claro que la frecuencia de la señal no cambiará por el reflejo en la pared, porque la pared no se mueve en relación con el radar. Por lo tanto, la pared no tiene una contribución de efecto doppler, es decir, no cambiará la frecuencia.

El cambio de frecuencia causado por el "rebote" del objetivo en movimiento debe estar fuertemente influenciado por el ángulo de reflexión del objetivo. Este ángulo de reflexión depende en gran medida de la forma del objetivo.

Consideremos el caso de un objetivo simple que se mueve hacia nosotros (theta=0).

Si el objetivo no está completamente orientado hacia nosotros (es decir, una hoja de papel delgada orientada a 90° de nosotros), la señal del radar se reflejará en la pared posterior y, por lo tanto, no cambiará en absoluto cuando se reciba:

Si el objeto está completamente mirando hacia nosotros, podemos usar la fórmula anterior y veremos el desplazamiento Doppler:

En el medio debe haber alguna regla de transición gemométrica simple. Por ejemplo, si el objeto (hoja de papel) se enfrenta

Creo que la fórmula podría ser