¿Cómo afecta la densidad de masa a la gravedad?

Si asumimos que los objetos son esféricamente simétricos, mientras esté fuera del objeto, el campo gravitatorio no depende del radio (y, por lo tanto, de la densidad) del objeto.

Clásicamente (es decir, de forma no relativista) este resultado se debe a la ley de Gauss . Cuando pasamos a la relatividad general el resultado se debe al teorema de Birkhoff .

Si uno tiene dos objetos esféricos con la misma masa$m$y densidades$\rho_1$y$\rho_2$, el campo gravitatorio es el mismo en los dos casos$\rho_1=\rho_2$y$\rho_1\neq\rho_2$. Esta es una consecuencia de la ley de Gauss (ver respuesta de John Rennie).

Sin embargo, si la distribución de masa no es esférica, el campo gravitatorio depende no solo de las densidades de las dos distribuciones de masa, sino también de las formas geométricas. La situación se vuelve más complicada.

Ejemplo

Considero aquí una situación en la que la dependencia del campo gravitacional de la densidad y formas de las distribuciones de carga es muy pronunciada. Considere una comparación entre A) dos objetos esféricos con masa$m$y densidad$\rho$; y B) un objeto esférico con densidad$\rho_1$, y una lámina delgada con la misma masa$m$pero con una densidad muy pequeña$\rho_2\ll \rho_1$. A grandes distancias de estos dos objetos, el campo gravitatorio es el mismo en los dos casos A) y B). De hecho, es lo mismo que de una sola esfera de masa$2m$. Sin embargo, a distancias pequeñas, el campo gravitatorio es completamente diferente. Consideremos por ejemplo el punto ubicado a la misma distancia$d$entre las dos esferas en A) y entre la esfera y la hoja delgada en el caso B). Supongamos también que en el caso B) la distancia$d$es menor que las dimensiones de la hoja delgada.

Caso A) el campo gravitatorio en el punto medio es simplemente cero, ya que las contribuciones de las dos esferas son iguales y opuestas y se anulan entre sí.

Caso B) el campo gravitacional de la hoja delgada es en gran medida despreciable (es proporcional a la densidad de masa en este caso) si la distancia$d$es mucho menor que la dimensión lineal de la lámina, y la única contribución al campo en este punto es la de la esfera. En este límite (dimensión lineal mucho mayor que$d$) la hoja se puede pensar como un plano infinito con masa finita$m$pero con densidad$\rho_2=0$(ver también el problema relacionado del campo eléctrico de un plano cargado infinito).