Circuito RC con dos condensadores que no están ni en paralelo ni en serie

Question

Circuito RC con dos condensadores que no están ni en paralelo ni en serie

ABDELRAHMAN DIJO ABDELRAHMAN

Fondo

En nuestro curso, hemos cubierto todo lo relacionado con el circuito RC-RL-RLC, sin embargo, todas las preguntas se basaron en el hecho de que tiene una conexión en serie o en paralelo.

Todavía no he tomado ningún curso relacionado con ecuaciones diferenciales, sin embargo, aprendí un poco al respecto.

No he tomado Laplace, sino el análisis mecánico, el análisis nodal, etc. Con respecto a lo que hemos cubierto relacionado con RC, RL y RLC, hemos tomado los casos en los que tenemos respuesta natural o escalonada para estos circuitos, pero nos dan las soluciones de las ecuaciones diferenciales relacionadas con estos circuitos, y solo usamos el soluciones para encontrar los voltajes y corrientes desconocidos. Por ejemplo, la ecuación general que puede describir el comportamiento de los circuitos RL/C es la siguiente

X (t) = X (\infty) + X (t_{0}) - X (\infty) \cdot {mi}^{(- \frac{(t - t_{0})}{q})}, dónde q es la constante de tiempo

$\mathrm{x(t)} = \mathrm{x(\infty)} + \mathrm{x(t_0)}-\mathrm{x(\infty)} \cdot e^{\left(\textstyle -\frac{(t-t_0)}{q}\right)} \text{, where } \mathrm{q} \text{ is the time constant}$

Nos enseñan los casos en los que eventualmente puede simplificar sus circuitos para tener una de las cuatro formas conocidas, es decir, una resistencia y un capacitor/inductor, o una combinación en paralelo/serie entre una resistencia, un capacitor y un inductor.

Problema

En el siguiente circuito, mi instructor me desafió a encontrar una solución.

Dado que $\mathrm{V_1(0)} = 3 \,\mathrm{V}$ y $\mathrm{V_2(0)} = 1 \,\mathrm{V}$ .

Como calcular $\mathrm{V_2(t)}$ para $\mathrm{t} \ge 0$ ?

Acercarse

He intentado escribir KVL y KCL y luego trato de encontrar $\mathrm{V_1}$ & $\mathrm{V_2}$ .

Las ecuaciones que conozco son las siguientes:

$\mathrm{I_c(t)} = C \frac{d\mathrm{V}}{dt} \implies \mathrm{V} = \frac{1}{C}\int\mathrm{I_c(t)}\,\mathrm{dt} + \mathrm{V(t_0)}$

La respuesta transitoria comienza cuando el voltaje se aplica en $\mathrm{t} = 0$ .
Lo que he probado es $\frac{d\mathrm{V_2}}{dt} + \mathrm{V_2}-\mathrm{V_1} = 0$ y estoy atrapado aquí.

Desafortunadamente, he pasado más de un día sin ningún progreso notable en la pregunta.
Por lo tanto, busco cualquier pista o consejo que pueda ponerme en el camino correcto.
Gracias de antemano.

broma

Si no tienes ningún curso sobre diff-eq, esto significa que no tienes clases de integrales, ni clases de Laplace, y... bueno... Um. ¿Por qué se le pide "que proponga una solución"? ¿Has estado estudiando sin tomar ningún curso? (Funcionó para mí. Podría para usted). Tal vez podría explicar lo que sabe, ya que dice que ha cubierto RC, RL y RLC.

ABDELRAHMAN DIJO ABDELRAHMAN

No he tomado Laplace, sino el análisis mecánico, el análisis nodal, etc. Con respecto a lo que hemos cubierto relacionado con RC, RL y RLC, hemos tomado los casos en los que tenemos respuesta natural o escalonada para estos circuitos, pero nos dan las soluciones de las ecuaciones diferenciales relacionadas con estos circuitos, y solo usamos el soluciones para encontrar los voltajes y corrientes desconocidos. Por ejemplo, la ecuación general que puede describir el comportamiento de los circuitos RL/C es la siguiente x(t) = x(infinito) +(x(t0)-x(infinito)*e^-(t-t0)/q , q es constante de tiempo

ABDELRAHMAN DIJO ABDELRAHMAN

Entonces, nos enseñan los casos en los que eventualmente puede simplificar sus circuitos para tener una de las cuatro formas conocidas, es decir, una resistencia y un capacitor/inductor, o una combinación en paralelo/serie entre una resistencia, un capacitor y un inductor.

ABDELRAHMAN DIJO ABDELRAHMAN

Las ecuaciones que conozco son las siguientes: ic = c dv/dt, por lo tanto, v = (1/c)∫(i)dt +v(t(o)).

Tim Wescott

(Reemplazando el comentario eliminado, ya que no puedo editar, y tengo mis matemáticas al revés): Voy a comenzar entrenándolo en la parte de los circuitos. Haz eso, y luego yo, o alguien más, te entrenará en la parte de las ecuaciones diferenciales. El voltaje en un capacitor es

i = C \frac{d v}{d t}

$i=C\frac{dv}{dt}$ -- por lo que se parece mucho a la ecuación de la resistencia, excepto que con un

\frac{d v}{d t}

$\frac{dv}{dt}$ ahí. Luego, recuerda del cálculo que

\frac{d}{d t} (v_{1} + v_{2}) = \frac{d v_{1}}{d t} + \frac{d v_{2}}{d t}

$\frac{d}{dt}(v_1+v_2)=\frac{d v_1}{dt} + \frac{d v_2}{dt}$ . Puede que tengas que estirar un poco tu cerebro, pero ¿crees que puedes escribir las ecuaciones de malla o nodo para el circuito?

Tim Wescott

Debería terminar con un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, que deberá convertirse en una ecuación diferencial de segundo orden y resolverse, o resolverse tal cual. Es bastante exagerado pedirle a alguien que los resuelva sin haber tomado una clase de diff-eq, pero sospecho que se puede hacer.

broma

@ABDELRAHMAN ¿Lo que escribí está más allá de lo que puedes aplicar? Si es así orienteme un poco para poder ayudar mejor.

Respuestas (2)

Circuito RC con dos condensadores que no están ni en paralelo ni en serie

Si no tienes ningún curso sobre diff-eq, esto significa que no tienes clases de integrales, ni clases de Laplace, y... bueno... Um. ¿Por qué se le pide "que proponga una solución"? ¿Has estado estudiando sin tomar ningún curso? (Funcionó para mí. Podría para usted). Tal vez podría explicar lo que sabe, ya que dice que ha cubierto RC, RL y RLC.
No he tomado Laplace, sino el análisis mecánico, el análisis nodal, etc. Con respecto a lo que hemos cubierto relacionado con RC, RL y RLC, hemos tomado los casos en los que tenemos respuesta natural o escalonada para estos circuitos, pero nos dan las soluciones de las ecuaciones diferenciales relacionadas con estos circuitos, y solo usamos el soluciones para encontrar los voltajes y corrientes desconocidos. Por ejemplo, la ecuación general que puede describir el comportamiento de los circuitos RL/C es la siguiente x(t) = x(infinito) +(x(t0)-x(infinito)*e^-(t-t0)/q , q es constante de tiempo
Entonces, nos enseñan los casos en los que eventualmente puede simplificar sus circuitos para tener una de las cuatro formas conocidas, es decir, una resistencia y un capacitor/inductor, o una combinación en paralelo/serie entre una resistencia, un capacitor y un inductor.
Las ecuaciones que conozco son las siguientes: ic = c dv/dt, por lo tanto, v = (1/c)∫(i)dt +v(t(o)).
(Reemplazando el comentario eliminado, ya que no puedo editar, y tengo mis matemáticas al revés): Voy a comenzar entrenándolo en la parte de los circuitos. Haz eso, y luego yo, o alguien más, te entrenará en la parte de las ecuaciones diferenciales. El voltaje en un capacitor es $i=C\frac{dv}{dt}$ -- por lo que se parece mucho a la ecuación de la resistencia, excepto que con un $\frac{dv}{dt}$ ahí. Luego, recuerda del cálculo que $\frac{d}{dt}(v_1+v_2)=\frac{d v_1}{dt} + \frac{d v_2}{dt}$ . Puede que tengas que estirar un poco tu cerebro, pero ¿crees que puedes escribir las ecuaciones de malla o nodo para el circuito?
Debería terminar con un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, que deberá convertirse en una ecuación diferencial de segundo orden y resolverse, o resolverse tal cual. Es bastante exagerado pedirle a alguien que los resuelva sin haber tomado una clase de diff-eq, pero sospecho que se puede hacer.
@ABDELRAHMAN ¿Lo que escribí está más allá de lo que puedes aplicar? Si es así orienteme un poco para poder ayudar mejor.

broma · Answer 1

Quizás esto pueda ayudar:

\begin{aligned} (1a) & \frac{V_{1}}{R_{1}} + \frac{V_{1}}{R_{2}} + C_{1} \cdot \frac{d V_{1}}{d t} & = \frac{V_{s}}{R_{1}} + \frac{V_{2}}{R_{2}} \\ (2a) & \frac{V_{2}}{R_{2}} + C_{2} \cdot \frac{d V_{2}}{d t} & = \frac{V_{1}}{R_{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{V_1}{R_1}+\frac{V_1}{R_2}+C_1\cdot\frac{\text{d}\,V_1}{\text{d}\,t}&=\frac{V_s}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}\tag{1a}\\\\ \frac{V_2}{R_2}+C_2\cdot\frac{\text{d}\,V_2}{\text{d}\,t}&=\frac{V_1}{R_2}\tag{2a} \end{align*}$

\begin{aligned} ∴ el sistema lineal de dos diff-eqs de primer orden es: \\ \frac{d V_{1}}{d t} & = \frac{1}{C_{1}} \cdot (\frac{V_{s} - V_{1}}{R_{1}} + \frac{V_{2} - V_{1}}{R_{2}}) \\ (1b) & = [- \frac{R_{1} + R_{2}}{C_{1}}] \cdot V_{1} + [\frac{R_{2}}{C_{1}}] \cdot V_{2} + [V_{s} \cdot \frac{R_{2}}{C_{1}}] \\ \frac{d V_{2}}{d t} & = \frac{1}{C_{2}} \cdot \frac{V_{1} - V_{2}}{R_{2}} \\ (2b) & = [\frac{1}{R_{2} \cdot C_{2}}] \cdot V_{1} + [\frac{- 1}{R_{2} \cdot C_{2}}] \cdot V_{2} + [0] \end{aligned}

$\begin{align*} &\therefore\quad\text{the linear system of two 1st order diff-eqs is:}\\\\ \frac{\text{d}\,V_1}{\text{d}\,t}&=\frac{1}{C_1}\cdot\left(\frac{V_s-V_1}{R_1}+\frac{V_2-V_1}{R_2}\right)\\\\ &=\left[-\frac{R_1+R_2}{C_1}\right]\cdot V_1+\left[\frac{R_2}{C_1}\right]\cdot V_2+\left[V_s\cdot\frac{R_2}{C_1}\right]\tag{1b}\\\\ \frac{\text{d}\,V_2}{\text{d}\,t}&=\frac{1}{C_2}\cdot\frac{V_1-V_2}{R_2}\\\\ &=\left[\frac{1}{R_2\cdot C_2}\right]\cdot V_1 +\left[\frac{-1}{R_2\cdot C_2}\right]\cdot V_2+\left[0\right]\tag{2b}\end{align*}$

\begin{aligned} ∴ dónde a_{11} = - \frac{R_{1} + R_{2}}{C_{1}}, a_{12} = \frac{R_{2}}{C_{1}}, b_{1} = V_{s} \cdot \frac{R_{2}}{C_{1}} \\ a_{21} = - \frac{1}{R_{2} \cdot C_{2}}, a_{22} = \frac{- 1}{R_{2} \cdot C_{2}}, b_{2} = 0, \\ entonces, \\ (1c) & \frac{d V_{1}}{d t} & = a_{11} \cdot V_{1} + a_{12} \cdot V_{2} + b_{1} \\ (2c) & \frac{d V_{2}}{d t} & = a_{21} \cdot V_{1} + a_{22} \cdot V_{2} + b_{2} \end{aligned}

$\begin{align*} &\therefore\quad\text{where }\:a_{11}=-\frac{R_1+R_2}{C_1}, a_{12}=\frac{R_2}{C_1}, b_1=V_s\cdot\frac{R_2}{C_1}\\\\ &\quad\quad\quad\quad\quad\: a_{21}=-\frac{1}{R_2\cdot C_2}, a_{22}=\frac{-1}{R_2\cdot C_2}, b_2=0, \\&\quad\quad\text{then,}\\\\ \frac{\text{d}\,V_1}{\text{d}\,t}&=a_{11}\cdot V_1+a_{12}\cdot V_2+b_1\tag{1c}\\\\ \frac{\text{d}\,V_2}{\text{d}\,t}&=a_{21}\cdot V_1+a_{22}\cdot V_2+b_2\tag{2c} \end{align*}$

Puedes usar el método que quieras. Pero me vienen a la mente el método de sustitución y los métodos directos de "adivinar y verificar". De cualquier manera, desea las partes homogéneas y de estado estacionario.

Para un posible ejemplo, continuando con la porción homogénea:

\begin{aligned} \frac{d^{2} V_{1}}{d t^{2}} & = a_{11} \cdot \frac{d V_{1}}{d t} + a_{12} \cdot \frac{d V_{2}}{d t} \\ = a_{11} \cdot \frac{d V_{1}}{d t} + a_{12} \cdot (a_{21} \cdot V_{1} + a_{22} \cdot V_{2}) \\ de (1c) arriba (ignorando b_{2}), V_{2} & = \frac{\frac{d V_{1}}{d t} - a_{11} \cdot V_{1}}{a_{12}}, entonces, \\ \frac{d^{2} V_{1}}{d t^{2}} & = a_{11} \cdot \frac{d V_{1}}{d t} + a_{12} \cdot (a_{21} \cdot V_{1} + a_{22} \cdot \frac{\frac{d V_{1}}{d t} - a_{11} \cdot V_{1}}{a_{12}}) \\ = (a_{11} + a_{22}) \cdot \frac{d V_{1}}{d t} + (a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}) \cdot V_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{\text{d}^2\,V_1}{\text{d}\,t^2}&=a_{11}\cdot \frac{\text{d}\,V_1}{\text{d}\,t}+a_{12}\cdot\frac{\text{d}\,V_2}{\text{d}\,t}\\\\&=a_{11}\cdot \frac{\text{d}\,V_1}{\text{d}\,t}+a_{12}\cdot\left(a_{21}\cdot V_1+a_{22}\cdot V_2\right)\\\\\text{from (1c) above (ignoring }b_2\text{)}, V_2&=\frac{\frac{\text{d}\,V_1}{\text{d}\,t}-a_{11}\cdot V_1}{a_{12}}, \text{then,}\\\\ \frac{\text{d}^2\,V_1}{\text{d}\,t^2}&=a_{11}\cdot \frac{\text{d}\,V_1}{\text{d}\,t}+a_{12}\cdot\left(a_{21}\cdot V_1+a_{22}\cdot \frac{\frac{\text{d}\,V_1}{\text{d}\,t}-a_{11}\cdot V_1}{a_{12}}\right)\\\\&=\left(a_{11}+a_{22}\right)\cdot\frac{\text{d}\,V_1}{\text{d}\,t}+\left(a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}\right)\cdot V_1 \end{align*}$

Lo anterior es un diff-eq de segundo orden, en $V_1$ , que ahora se puede resolver con la suma de dos expresiones exponenciales. Con eso en la mano, el resto no es difícil.

¿Las ecuaciones están desalineadas o solo es mi pensamiento?
@ Unknown123 No lo sé. Acabo de editarlo un poco diferente. ¿Esto ayuda de alguna manera?
No importa, probablemente sea solo mi estilo cómodo de alinear a la izquierda si hay múltiples ecuaciones distintas. Además, tengo curiosidad por saber cuál es la razón por la que esto fue rechazado.
@Desconocido A alguien aquí no le gusta que escriba demasiado. Eso es todo. Hay dos o tres en particular en los que simplemente no nos llevamos bien en ese punto, aunque podrían ser otros. No es un problema. Escribo con precisión y si no hay una crítica específica, solo significa que tengo razón y ellos lo saben y no pueden decir nada excepto quejarse usando un voto negativo. No me importa, en absoluto. De hecho, lo disfruto de una manera extraña porque les molesta que no puedan controlarme sobre estas diferencias de política o que digan algo que socave lo que he escrito. Disfruto ayudando y no pararé.
@SimonMarcoux Gracias por el amable comentario. Hace mucho para que el tiempo valga la pena. :)

AnalógicoNiño · Answer 2

A su pregunta le faltan algunos detalles importantes, por lo que son conjeturas. Debido a que esto es trabajo escolar, esta respuesta es intencionalmente vaga.

SI Vs es una fuente de CC, entonces hay dos respuestas posibles, el voltaje transitorio (cuando se aplica Vs y los capacitores se cargan) y el voltaje de estado estable (después de que las tapas estén completamente cargadas). Las soluciones de estado estacionario son bastante sencillas.

La solución transitoria para V1 y V2 es (supongo) una ecuación que describe el cambio de voltaje a lo largo del tiempo. ¿Conoces la ecuación de cómo cambia el voltaje de un capacitor a medida que se carga desde una fuente de voltaje constante? En caso afirmativo, puede usar eso para describir V2 como una función de V1. Luego, nuevamente, describa V1 como una función de 10 V. Luego use la ecuación para V1 como la fuente de voltaje en la ecuación para V2.

Lo que se requiere es la respuesta transitoria cuando se aplica el voltaje en t = 0. Lo que he intentado es lo siguiente: dv2/dt +v2-v1 = 0, y estoy atascado aquí. Gracias por su consideración.

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