Circuito de escalera lineal de análisis

Si entiendo el diagrama, soy la corriente a través de la resistencia de 1 ohmio en el extremo derecho del esquema.

Lo que están diciendo es, suponga que I es 1 A. Ahora sabe, por ejemplo, que el voltaje en el siguiente nodo a la izquierda es 3 V. Y tiene una corriente de 1 A a través de la resistencia de 3 ohmios. Dado que tiene 2 A a través de los dos últimos peldaños de la escalera, debe tener 4 V a través de la resistencia de 2 ohmios, la segunda desde la derecha (¿ve cuánto más fácil sería si solo pusiera designadores en su esquema ? ) . Y así sucesivamente, volviendo a la izquierda.

Ahora, cuando regrese a la fuente, obtendrá un voltaje distinto de 7 V. Digamos que obtiene 21 V (no he calculado, solo inventé un número).

Dado que el sistema es lineal, sabe que si reduce este voltaje a 7 V, la corriente I también se reducirá en un factor de 3, por lo que la I real es 333 mA, no el 1 A que supuso originalmente.

Me gusta volver a dibujar el circuito:

Suponiendo que todas las corrientes fluyen hacia abajo a través de las resistencias:

$$\begin{equation} i_{10} = i_{6} + i_{8} + i\\ i_{1} = i_{2} + i_{4} + i_{10} \end{equation}$$

Mirando la resistencia equivalente de R9 y R11, podemos decir que la misma corriente fluye a través de esa rama que a través de R8 (2 + 1 = 3).

$$\begin{equation} i_{8} = i\\ i_{7} = 2 \cdot i\\ i_{10} = i_{6} + 2 \cdot i \end{equation}$$

Obteniendo la resistencia equivalente de R7, R8, R9 y R11. podemos calcular rápidamente que esto es 3,5 ohmios. Como esta es la mitad de la resistencia de R6, sabemos que fluye el doble de corriente a través de R7 que a través de R6.

$$\begin{equation} i_{6} = \frac{i_7}{2} = i\\ i_5 = i_{10} = 3 \cdot i \end{equation}$$

Ahora obtengamos la resistencia equivalente de R5, R6, R7, R8, R9, R10 y R11. Ya sabemos que R7, R8, R9 y R11 son 3,5 ohmios, y en paralelo con 7 ohmios adicionales de R6 que nos da 7/3 ohmios. Luego agregar la serie R5 y R10 nos da 16/3 ohmios.

Dado que la corriente se distribuirá entre los dos brazos en relación con su resistencia,

$$\begin{equation} i_{4} \cdot R_4 = \frac{16}{3} \Omega \cdot i_5\\ i_{4} = \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot i = 4 \cdot i\\ i_3 = i_4 + i_5 = 7 \cdot i \end{equation}$$

Repitiendo nuevamente, obtenemos la resistencia equivalente para las resistencias R3-R11.

$$\begin{equation} R_{3-11} = R_3 + \left(\frac{1}{R_4} + \frac{3}{16} \right)^{-1} = 2 + \frac{16}{7} = \frac{30}{7} \Omega \end{equation}$$

Ahora enjuague y repita el paso de distribución actual.

$$\begin{equation} i_{2} \cdot R_2 = \frac{30}{7} \Omega \cdot i_3\\ i_{2} = \frac{6}{7} \cdot 7 \cdot i = 6 \cdot i\\ i_1 = i_2 + i_3 = 13 \cdot i \end{equation}$$

Ahora es el momento de obtener la resistencia equivalente completa:

$$\begin{equation} R_{eq} = R_1 + \left( \frac{1}{5} + \frac{7}{30} \right) ^{-1} = 2 + \frac{30}{13} = \frac{56}{13} \Omega \end{equation}$$

Entonces, usando nuestra ley básica de Ohm:

$$\begin{equation} Vs = i_1 \cdot R_{eq} = 13 \cdot i \cdot \frac{56}{13} = 56 \cdot i \end{equation}$$

Con Vs = 7V,$i = \frac{7}{56} = \frac{1}{8} = 0.125A$.

No asumí que i = 1A, pero si lo hubiera hecho al final habría terminado con algunos Vs != 7V. En cambio, hubiera obtenido Vs = 56V para obtener i = 1A.

El escalado se puede hacer dividiendo el voltaje objetivo por el voltaje escalado, y de la misma manera para la corriente objetivo y el voltaje escalado:

$$\begin{equation} \frac{7V}{56V} = \frac{i_{actual}}{1A}\\ i_{actual} = 0.125A \end{equation}$$

Que es la misma respuesta (como se esperaba).