Cálculos de ciclo de eclipse necesarios

Francamente, cuatro cuerpos no se alinean periódicamente, incluso si las órbitas son planas, a menos que exista un múltiplo común. Porque todos sus períodos son números enteros , eso es válido, pero tenga en cuenta que sus alineaciones dobles, como el doble eclipse solar o el doble eclipse lunar, no son periódicas si uno de los períodos no sigue exactamente ese sistema de números enteros. (por lo que no se mantiene durante 31.01 días, por ejemplo. Aquí se habla de cómo manejar los períodos quazi ).

1. ¿Con qué frecuencia ambas lunas estarían llenas al mismo tiempo, superponiéndose como una diana?

Generalmente no periódico, pero solo puede ocurrir en el período sinódico de las dos lunas, es decir:

.

$\frac{2418}{47}$por las dos lunas. Sin embargo, eso también debe ocurrir cuando ambos están en la misma línea que el Sol, es decir, cuando el período sinódico relativo entre una de las lunas y el sol, y el período sinódico de las lunas, ambos dividen el período solicitado. Para la luna interior y el Sol, el período sinódico es$\frac{10385}{304}$. Como 47 no tiene ningún factor en común con 304, el primer múltiplo común aparece en.

$$\frac{10385}{304} \cdot \frac{2418}{47} = \frac{12555465}{7144}$$ , o 1757.484 días. (@Jonathan obtiene 2418, porque su modelo considera que el Sol permanece estático en el cielo, pero de hecho gira una vez al año). El mismo período exacto también es válido para su pregunta 4 .

2. ¿Con qué frecuencia ocurrirían eclipses lunares para la Luna A?

Aquí, la respuesta es el período sinódico del Sol y la Luna, ya declarado como$\frac{10385}{304}$, o 34.161 días. Eso es un poco más largo que el período orbital de la Luna, porque el planeta se ha movido un poco en su órbita, cambiando ligeramente la posición del Sol en el cielo.

3. ¿Con qué frecuencia ocurrirían eclipses lunares para la Luna B?

Período sinódico aquí también,$\frac{26130}{257}$= 101.673 días.

Aquí está mi intento, asumiendo que las órbitas son circulares y en el mismo plano . De lo contrario, los cálculos se vuelven más complejos y habría que especificar esas variables. El tamaño del planeta y el tamaño de las lunas también afectarían el cálculo (por ejemplo, es posible que nunca se eclipsen por completo si el planeta es bastante pequeño/denso). También tenga en cuenta que la Luna A puede eclipsar a la Luna B y la Luna B puede eclipsar a la Luna A dependiendo de su tamaño. No considero esto en mis cálculos (solo considero el planeta eclipsándolos).

1. ¿Con qué frecuencia ambas lunas estarían llenas al mismo tiempo, superponiéndose como una diana?

Sin incluir la órbita de los planetas, 31 es un número primo y 78 se descompone en los factores 2, 7, 7. Dado que no hay un denominador común compartido, no parece que se sincronicen con más frecuencia que 78 * 31 = 2418 dias

2.¿Con qué frecuencia ocurrirían eclipses lunares para la Luna A?

Aproximadamente 78 días (+- aproximadamente 78/335 días debido a que el planeta orbita alrededor del sol)

3.¿Con qué frecuencia ocurrirían eclipses lunares para la Luna b?

Aproximadamente 31 días (+- aproximadamente 31/335 días debido a que el planeta orbita alrededor del sol)

4. ¿Con qué frecuencia se eclipsarían ambos al mismo tiempo?

Misma respuesta que el n. ° 1, que calculo en 2418 días

Doy la bienvenida al refinamiento / corrección de mis cálculos, este es un "intento aproximado".

NOTA: estoy usando un marco de referencia "geocéntrico", donde tanto las lunas como el sol orbitan alrededor del planeta, y estoy creando un sistema de coordenadas xy arbitrario.

Tomamos nota de la respuesta de @ Hohmannfan que (respondiendo sus preguntas fuera de orden por simplicidad):

• La luna B eclipsará al sol cada$\frac{10385}{304}$(~ 34,16) días. En este período de tiempo, el sol completa$\frac{31}{304}$de una órbita y la Luna B completa$1\frac{31}{304}$órbitas, lamiendo el sol una vez.

• La luna A eclipsará al sol cada$\frac{26130}{257}$(~ 101,67) días. El sol completará$\frac{78}{257}$de una órbita, y la Luna A la recorrerá completando$1\frac{78}{257}$órbitas.

• La Luna B se superpondrá a la Luna A una vez cada$\frac{2418}{47}$(~ 51.44) días, en los que la Luna A completará$\frac{31}{47}$de una órbita y la Luna B la recorrerá completando$1\frac{31}{47}$órbitas.

Sin embargo, como señala @Hohmannfan, no hay garantía de que las lunas estén llenas cuando se superponen.

Tampoco hay garantía de que las dos lunas eclipsen al sol al mismo tiempo, aunque se acercarán arbitrariamente a hacerlo:

En el$\frac{2418}{47}$días entre dos superposiciones lunares sucesivas, el sol se mueve$\frac{2418}{47} \times \frac{1}{335}$de una órbita.

Como arriba, las lunas han avanzado$\frac{31}{47}$de una órbita.

Así, en comparación con el sol, las lunas han avanzado$\frac{31}{47} - \frac{2418}{47} \times \frac{1}{335}$o$\frac{7967}{15745}$de una órbita (este número es sorprendentemente cercano a$\frac{1}{2}$pero eso es solo una coincidencia).

Esto sucede entre cada par de superposiciones, por lo que la distancia angular del sol (en órbitas) desde las lunas superpuestas es$\frac{7967 n}{15745}+r$dónde$r$es la distancia angular en una superposición específica y$n$es cualquier entero.

Para que las lunas superpuestas eclipsen al sol$\frac{7967 n}{15745}+r$debe ser un entero. Si$r$es irracional, esto nunca puede suceder.

Sin embargo, la distancia angular puede volverse arbitrariamente pequeña, incluso hasta el punto en que un observador no se daría cuenta de que el eclipse de doble luna no es 100% perfecto.

Mediante un argumento similar, puede mostrar que las dos lunas llenas se acercarán arbitrariamente a la superposición.

AHORA , si hacemos la suposición simplificada de que ambas lunas están eclipsando al sol en el año 0 (tal vez sus sacerdotes astrónomos hayan decidido que esta ocurrencia inusual es un buen momento para comenzar a contar los años, y creen que cero (no uno) es un buen comienzo año), podemos hacer algunos otros cálculos.

Dado que las lunas se alinean cada$\frac{2418}{47}$días y el sol y la Luna B se alinean cada$\frac{10385}{304}$días, los tres se alinearán (para formar un eclipse de luna doble del sol) en el mínimo común múltiplo de estos números, o 810,030 días (lo que sería exactamente 2418 de sus años, y tenga en cuenta que 2418 es el producto de los dos órbitas lunares en días). En este momento:

• La Luna A habrá completado exactamente 10.385 órbitas.

• La Luna B habrá completado exactamente 26.130 órbitas.

• Como arriba, el sol habrá completado exactamente 2.418 órbitas.

Resulta que nunca puede haber una diana perfecta de doble luna llena:

• Luna B estará llena el día$\frac{10385}{608}$(~ 17.08), momento en el que habrá completado$\frac{335}{608}$de una órbita y el sol habrá completado$\frac{31}{608}$de una órbita, por lo que la Luna B habrá ganado la mitad de una órbita sobre el sol, lo que se requiere para una luna llena. Después de eso, la luna estará llena cada$\frac{10385}{304}$días, el tiempo que tarda el sol en completarse$\frac{31}{304}$órbitas, y Luna B para completar$1\frac{31}{304}$órbitas.

• Por un cálculo similar, la Luna A estará llena el día$\frac{13065}{257}$(~ 50.84) y cada$\frac{26130}{257}$días después.

• Para encontrar cuándo están ambos llenos al mismo tiempo, resolvemos esta ecuación diofántica lineal:

$\frac{10385 n}{304}+\frac{10385}{608}=\frac{26130 m}{257}+\frac{13065}{257}$

donde n y m son números enteros. Esto se reduce a:

$n\to \frac{47424 m+15745}{15934}$

Desafortunadamente,$47424 m$siempre es par, entonces$47424 m+15745$siempre es raro. Como el denominador ($15934$) es par, estás dividiendo un número impar por un número par y el resultado nunca puede ser un número entero.

Sin embargo, esto no cuenta la historia completa. Por ejemplo, si calculamos las posiciones el día$\frac{34987576465283}{92766720}$(~ 377156.55), encontramos:

• La Luna B está a 122.5656 grados.

• La Luna A está a 122,5581 grados, a solo ~ 27 segundos de arco de distancia.

• El sol está a 302,5658 grados, 179,9998 grados de la luna B y 179,9924 grados de la luna A (~ 28 segundos de arco desde la oposición).

En otras palabras, esto es bastante parecido a una luna llena doble, aunque no es exacta.

De manera similar, a pesar de que los eclipses solares dobles solo ocurren una vez cada 810,030 días, hay varias llamadas cercanas:

$\begin{array}{cc} \text{Day} & \text{Sep (')} \\ -810030.00000 & 0.00 \\ -754313.10860 & 0.91 \\ -698596.21710 & 1.82 \\ -642879.32570 & 2.73 \\ -587162.43420 & 3.64 \\ -531445.54280 & 4.55 \\ -475728.65130 & 5.47 \\ -445735.13160 & 7.29 \\ -420011.75990 & 6.38 \\ -390018.24010 & 6.38 \\ -364294.86840 & 7.29 \\ -334301.34870 & 5.47 \\ -278584.45720 & 4.55 \\ -222867.56580 & 3.64 \\ -167150.67430 & 2.73 \\ -111433.78290 & 1.82 \\ -55716.89145 & 0.91 \\ 0.00000 & 0.00 \\ 55716.89145 & 0.91 \\ 111433.78290 & 1.82 \\ 167150.67430 & 2.73 \\ 222867.56580 & 3.64 \\ 278584.45720 & 4.55 \\ 334301.34870 & 5.47 \\ 364294.86840 & 7.29 \\ 390018.24010 & 6.38 \\ 420011.75990 & 6.38 \\ 445735.13160 & 7.29 \\ 475728.65130 & 5.47 \\ 531445.54280 & 4.55 \\ 587162.43420 & 3.64 \\ 642879.32570 & 2.73 \\ 698596.21710 & 1.82 \\ 754313.10860 & 0.91 \\ 810030.00000 & 0.00 \\ \end{array}$

La tabla anterior enumera todos los eclipses cercanos dentro de los 7,5 minutos de arco, donde día es el número de días desde el año 0 (incluidos los días antes del año 0) y sep es la separación máxima (en minutos de arco) de dos cualesquiera de la Luna A. , Luna B, y el sol. Tenga en cuenta que los días$0$y$\pm 810030$son eclipses perfectos, como era de esperar.

Del mismo modo, lo más cerca que estamos de las lunas llenas dobles está a continuación. En este caso, sep es (en minutos de arco) el máximo de:

• la distancia angular de la Luna A de la oposición

• la distancia angular de la Luna B de la oposición

• la distancia angular entre la Luna A y la Luna B

$\begin{array}{cc} \text{Day} & \text{Sep (')} \\ -797168.29790 & 10.29 \\ -767174.80850 & 8.92 \\ -711457.91490 & 7.55 \\ -655741.02130 & 6.17 \\ -600024.12770 & 4.80 \\ -544307.23400 & 3.43 \\ -488590.34040 & 2.06 \\ -432873.44680 & 0.69 \\ -377156.55320 & 0.69 \\ -321439.65960 & 2.06 \\ -265722.76600 & 3.43 \\ -210005.87230 & 4.80 \\ -154288.97870 & 6.17 \\ -98572.08511 & 7.55 \\ -42855.19149 & 8.92 \\ -12861.70213 & 10.29 \\ 12861.70213 & 10.29 \\ 42855.19149 & 8.92 \\ 98572.08511 & 7.55 \\ 154288.97870 & 6.17 \\ 210005.87230 & 4.80 \\ 265722.76600 & 3.43 \\ 321439.65960 & 2.06 \\ 377156.55320 & 0.69 \\ 432873.44680 & 0.69 \\ 488590.34040 & 2.06 \\ 544307.23400 & 3.43 \\ 600024.12770 & 4.80 \\ 655741.02130 & 6.17 \\ 711457.91490 & 7.55 \\ 767174.80850 & 8.92 \\ 797168.29790 & 10.29 \\ \end{array}$

Otras notas:

• Aunque dijiste que esto era ficción, ten en cuenta que es muy poco probable que el período orbital de las lunas sea un múltiplo exacto del día de los planetas. La única excepción a esto es si la(s) luna(s) están bloqueadas por mareas, en cuyo caso el período orbital será igual a exactamente un día.

• Del mismo modo, es poco probable que el período orbital del planeta sea un múltiplo exacto de su período de rotación (el nuestro ciertamente no lo es).

Este es un problema interesante en general, y estoy escribiendo https://github.com/barrycarter/bcapps/blob/master/MATHEMATICA/bc-orrery.m para resolver un problema similar: https://physics.stackexchange.com /preguntas/197481/