Cálculo de la resistencia de una forma 3D entre dos puntos

Si tengo un objeto de forma arbitraria hecho de un material uniforme de cierta resistividad específica, ¿cómo haría para calcular la resistencia entre dos puntos de medición con geometría de contacto conocida?

¿Hay una fórmula general para esto? (aparte de las ecuaciones de Maxwell) Si es así, ¿dónde encontraría una derivación?

Editar : Algunas simulaciones responden a continuación:ingrese la descripción de la imagen aquí ingrese la descripción de la imagen aquí

¿Estás hablando de una integral de trayectoria única? La resistividad es, a partir del análisis dimensional, la resistencia multiplicada por una distancia. La fórmula simple es solo la resistencia escalar por el área de la sección transversal, dividida por una longitud. Mirando eso, convertiría la divergencia del tensor de resistividad en un producto escalar con la unidad de longitud. En el RHS, tendría una integral sobre el área de alguna resistencia escalar promedio o resistencia total. Esto es solo una suposición, por eso lo dejé como comentario.

Respuestas (2)

Bueno, sí se puede, pero suele ser muy difícil. Aquí están los pasos:

  1. Resuelva la ecuación de Laplace:

    ∇ 2 V = 0 .
    En tu caso, encuentra la solución general en coordenadas esféricas. Trate de usar todas las simplificaciones que pueda. Quizás te preguntes por qué no resuelves la ecuación de Poisson:
    ϵ ∇ 2 V = ρ .
    Esto se debe a que un conductor es un número igual de redes positivas y negativas en movimiento, por lo que tiene una densidad de carga neta nula.

  2. Encuentre el campo eléctrico con:

    mi = − ∇ V
    Aún debe tener un término que dependa de su V 0 , la diferencia de potencial entre sus dos puntos.

  3. Encuentre la densidad de corriente con:

    j = σ mi .

  4. Encuentre la corriente total I integrándose sobre cualquier superficie cerrada que contenga solo uno de sus dos puntos de contacto.

  5. V 0 = R I !

Eso es todo. Lo he usado para encontrar la resistencia para ciertas geometrías cuando podrías hacer muchas simplificaciones para encontrar la solución de V , pero no sé cómo se puede aplicar para problemas más generales.

si, esto es lo que estaba buscando. Lo imaginé hablando con RossMillikan a continuación, pero nunca llegó a una respuesta adecuada.

No que yo sepa. Lo mejor que pude hacer es hacer una simulación numérica. Haga una malla de puntos que llenen el objeto, calcule la resistencia entre cada par vecino y realice una relajación numérica para determinar el potencial en todo el objeto.

Decidí que este enfoque era incorrecto, aunque tal vez podrías persuadirme de lo contrario. La razón por la que decidí esto fue esta: digamos que usamos una cuadrícula rectangular. Ahora considere un objeto recto relativamente delgado. Si el objeto, de longitud yo está alineado con la cuadrícula, contendría norte resistencias y tienen una resistencia R , si se encuentra en diagonal a la cuadrícula, entonces contendría   2 norte resitores y tienen una resistencia de 2 R . Quizás esté sugiriendo modificar las resistencias como parte de la relajación, aunque no estoy seguro de cómo se haría eso.
No, las resistencias son fijas durante la relajación, solo varían los potenciales en cada nodo. Cuando la relajación converge, calcula el flujo de corriente para el voltaje de entrada de la unidad y obtiene la resistencia. El espacio entre nodos debe ser pequeño en comparación con todos los tamaños de características del objeto exactamente por la razón que menciona. Si el espacio entre los nodos es pequeño en comparación con el ancho de la varilla, obtendrá 2 más líneas de puntos que comparten la corriente para compensar la longitud adicional y obtener la misma resistencia.
No estoy 100% convencido, pero me convenciste para codificar algo y ver. Sin embargo, suponiendo que esto sea correcto, ¿no sugiere una ecuación expresada en términos de la minimización de alguna función?
Creo que generalmente se usa una malla no cúbica, tal vez el clásico empaquetamiento de esferas, que también ayuda a hacer que la situación sea isotrópica.
Acabo de codificar un procedimiento básico de relajación en 2D. Pondré algunos resultados en el OP cuando tenga algunos.
OK, estoy convencido, y ahora lo entiendo mucho mejor, gracias. Ver pregunta para algunas parcelas.
Me alegra ver eso. Siempre que su malla sea muy pequeña en comparación con las dimensiones de cualquier elemento del problema, debería obtener aproximadamente el mismo resultado. Las mallas finas implican muchos nodos, lo que implica largos tiempos de relajación. Si lo hicieras en 3D requeriría un factor norte 3 / 2 más nodos. Los profesionales en esta área (yo no soy uno) tienen técnicas para elegir los nodos para que la malla sea más gruesa y pueda obtener buenos resultados. También tienen un software que acelera la convergencia. Aun así, los modelos con miles de nodos son rutinarios.
Mi modelo anterior tiene unos 10.000 nodos. Se necesitaron alrededor de 100.000 iteraciones para converger. Espero haberlo hecho bien, un poco de ingeniería inversa implica que lo que he estado haciendo es resolver la ecuación de Laplace ∇ 2 ϕ = 0 con condiciones de contorno ( norte ^ ⋅ ∇ ) ϕ = 0 para no contactos y ϕ = C o norte s t para los contactos. Esto me parece muy plausible ahora. Has sido de gran ayuda, gracias.
¿Es esto lo mismo que el método de elementos finitos?
Cálculo de la resistencia de una forma 3D entre dos puntos
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v