Ayuda con la solución analítica para la relación de dispersión de una onda elástica con vector de onda k

Estaba estudiando las vibraciones de Phonons y Lattice y encontré la ecuación. Quiero la solución matemática para esto.

$$M\frac{d^2u_n}{dt^2}=C[u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n]$$

a partir de aquí se argumenta que dado que los átomos vibran en modo normal, todas las frecuencias de vibración son las mismas, por lo tanto, una solución de la forma$e^{i\omega t}$se supone. Mi primera duda es por qué se supone que la solución es de esta forma, por lo poco que sé de matemáticas, la solución debería ser de la forma$A_1e^{i\omega t}+A_2e^{-i\omega t}$.

Entonces, usando lo anterior, llegamos al siguiente paso, introduciendo esto en el doble diferencial que obtenemos

$$-M{\omega}^2{u_n}=C[u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n]$$

Luego dice que se podría suponer que la solución es un vector de onda con un$k$vector y con un factor de fase adicional que escala linealmente con la posición del plano. Esta declaración le permite escribir que

$$u_n=ue^{inka}$$ dónde $a$es el espaciado de la red. Aquí es donde lo pierdo por completo, ¿alguien puede ayudarme con las matemáticas que subyacen a lo anterior? Realmente lo necesito para desarrollar una comprensión del caso.

En mis intentos de resolver

$$-M{\omega}^2{u_n}=C[u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n]$$ , esta sería tratada como una ecuación en diferencias de segundo orden y la solución sería de la forma $$u_n={\beta_1}{\lambda_1}^n+{\beta_2}{\lambda_2}^n$$ dónde $\beta$y $\lambda$podría calcularse ajustando los valores correspondientes en la ecuación. Amablemente ayúdame con la solución, alguien.