Anomalías y curvatura del haz determinante

Una referencia estándar repleta de otras referencias a todo lo que siempre quiso saber sobre anomalías es "Anomalías en la teoría cuántica de campos" de Bertlmann. Este tema en particular es lo que comprende parte del capítulo 11 allí. Resaltaré los puntos principales, pero este es un tema técnico para el cual tendrás que ir a las referencias y seguir todos los numerosos pasos en las derivaciones para entenderlos:

La relación entre una anomalía de calibre y un paquete determinante surge una vez que se da cuenta de que el término de anomalía de calibre se puede calcular mediante un determinado determinante, por ejemplo, siguiendo el método de Fujikawa. Esta particular construcción se debe a Alvarez-Gaumé y Ginsparg. Uno define una "raíz cuadrada"$\hat{D}$del operador de Dirac$D$como

$$\hat{D} = \gamma^\mu \left(\partial_\mu + A_\mu P_+\right)$$ dónde $P_+$se proyecta sobre fermiones de quiralidad positiva. La función de partición de un fermión de Dirac $\psi$con acción $\int\bar\psi\mathrm{i}\hat{D}\psi$viene dada por el determinante funcional de $\mathrm{i}D$. La anomalía de la medida de la integral de trayectoria bajo una transformación de calibre significa la no invariancia de este determinante y permite calcular la anomalía debida a un fermión de Weyl de quiralidad positiva.

El paquete determinante relevante vive en un subespacio (una dos esfera, para ser precisos) del espacio de conexiones$\mathcal{A}$transformaciones de calibre de módulo que se desvanecen en el infinito$\mathcal{G}_0$. Si el determinante de$\hat{D}$, que es un funcional de$A$, es variable de calibre, entonces no puede ser una función global bien definida en$\mathcal{A}/\mathcal{G}_0$- la presencia de una anomalía se detecta así porque este paquete determinante no es trivial, es decir, carece de secciones globales.