Ángulo de balanceo para viraje peraltado de una aeronave en un plano inclinado

Comencemos con un avión que hace un círculo nivelado con el suelo a una velocidad constante. Su posición está dada por

$$\vec{x}_1(t) = r\begin{bmatrix} \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t) \\ 0 \end{bmatrix}$$ dónde $r$es el radio de la vuelta, $\omega$es la velocidad angular (es decir, $v/r$), y $t$es hora. El $x$- y $y$-Las coordenadas son paralelas al suelo y $z$es la elevación del plano. Estoy asignando una elevación de $0$al centro de la trayectoria circular del avión para mayor comodidad.

Como el avión mantiene una velocidad constante, todo lo que tenemos que hacer es inclinar el plano del vuelo del avión. Voy a hacer esto alrededor del$y$-eje.

$$\vec{x}_2(t) = \begin{bmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi) \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{bmatrix} r\begin{bmatrix} \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t) \\ 0 \end{bmatrix} = r\begin{bmatrix} \cos(\omega t)cos(\phi) \\ \sin(\omega t) \\ -\cos(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix}$$

La fuerza total necesaria para mantener este camino es simplemente la masa del avión por la aceleración ($F=ma$), y la aceleración viene dada por la segunda derivada de la posición. Por suerte, el ángulo$\phi$es constante, por lo que las derivadas son bastante sencillas.

$$\vec{a}_2 = \frac{d\vec{x}_2}{dt} = -\omega^2r\begin{bmatrix} \cos(\omega t)cos(\phi) \\ \sin(\omega t) \\ -\cos(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix}$$

Hay cuatro fuerzas en el avión: empuje, arrastre, peso y sustentación.

El peso es una constante

$$\vec{F}_w = m\vec{g} = mg\begin{bmatrix}0\\0\\-1\end{bmatrix}$$ dónde $g$es la aceleración de la gravedad.

Para mantener el avión a una velocidad constante, el empuje y la resistencia del avión deben equilibrar la componente de la gravedad en la misma dirección que el avión. Primero, la velocidad del avión viene dada por

$$\vec{v}_2 = r\omega\begin{bmatrix} -\sin(\omega t)cos(\phi) \\ \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix} = v\begin{bmatrix} -\sin(\omega t)cos(\phi) \\ \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix}$$ $$\begin{array}{r l} \vec{F}_T + \vec{F}_d&= -\left(\hat{v}_2 \cdot \vec{F}_g\right)\hat{v}_2 \\ &= mg\sin(\omega t)\sin(\phi)\hat{v}_2 \\ &= mg\sin(\omega t)\sin(\phi)\begin{bmatrix} -\sin(\omega t)cos(\phi) \\ \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix} \end{array}$$

Ahora, todo lo que queda es conectar todo esto a$\Sigma \vec{F} = m\vec{a}$y vea lo que le queda por hacer a lift:

$$\vec{F}_T + \vec{F}_d + \vec{F}_g + \vec{F}_L = m\vec{a}_2$$ $$\vec{F}_L = m\vec{a}_2 - \vec{F}_T - \vec{F}_d - \vec{F}_g$$ $$\vec{F}_L = -m\omega^2r\begin{bmatrix} \cos(\omega t)cos(\phi) \\ \sin(\omega t) \\ -\cos(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix} - mg\sin(\omega t)\sin(\phi)\begin{bmatrix} -\sin(\omega t)cos(\phi) \\ \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix} + mg\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$$

Entonces, mmm, sí. Los ángulos de balanceo y cabeceo no son tan simples para un círculo peraltado. Este no es uno de esos problemas en los que todo se derrumba en una fórmula ordenada.

Sabemos que la fuerza de sustentación es perpendicular al avión. El ángulo de balanceo (sobre el eje longitudinal) es tal que la componente vertical de la fuerza de sustentación es igual al peso del avión.$mg$y el componente lateral es igual al requisito de fuerza centrífuga$ma$.

Si el avión se inclina, entonces la fuerza de sustentación tiene tres componentes: vertical, lateral y longitudinal. Si el ángulo de inclinación es$\phi$, el ángulo de balanceo es$\Theta$, los tres componentes son,

$$F_{longitudinal}=F_{lift}\sin \phi$$ $$F_{vertical}=F_{lift}\cos \phi \cos \Theta =mg$$ $$F_{lateral}=F_{lift}\cos \phi \sin \Theta =ma$$

Aún así, el ángulo de balanceo es

$$\arctan(\frac ga)$$

Sin embargo, el avión necesita más empuje para ganar más velocidad y, por lo tanto, más fuerza de sustentación. De lo contrario, el avión se caerá. Y está desacelerando si el paso es positivo. ¡Tema interesante!