"Ancho de banda base" de la guía de ondas ópticas

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Considere una guía de ondas de losa dieléctrica (sin pérdidas, isotrópica) iluminada transversalmente desde el vacío (con luz monocromática coherente).

Definimos el ancho de banda base de una guía de ondas (o fibra óptica),$AB$, para ser el inverso del retardo de tiempo,$\Delta t$, a 1 km de la guía de ondas entre la energía de un modo guiado (transmitido siguiendo el modelo en zig-zag ) con un$\theta_{c}$ángulo crítico y la energía transmitida sin reflexiones internas totales. Dejar$n_{f}$y$n_{s}$ser los índices de refracción de la película y el sustrato, respectivamente. probar que si$\Delta n=n_{f}-n_{s}<<1$, entonces:

$${\rm{AB}} = {\left( {\Delta t} \right)^{ - 1}} \simeq \frac{{2c{n_s}}}{{{{\left( {{\rm{AN}}} \right)}^2}}} = \frac{c}{{{n_f} - {n_s}}}$$

dónde$AN$es la apertura numérica de la guía.

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Este problema ha estado en mi mente durante 2 días y parece que no puedo encontrar un método para calcular esa diferencia horaria... ¿Alguna idea?

Mi pensamiento hasta ahora:

Tenemos que mirar la imagen de Ray Optics de la teoría de la guía de onda dieléctrica (ver, por ejemplo, Tamir et al: Integrated Optics (capítulo 2)). Un modo guiado se propaga a través de la guía de ondas siguiendo una serie de reflexiones internas totales en un ángulo$\theta_{c}$con la normal a las superficies del sustrato de la película o de la cubierta de la película y, por lo tanto, su energía queda "atrapada" en la película. Un modo que no sea un modo guiado viajará a través de la guía de ondas sufriendo reflejos y refracciones y por lo tanto irradiando algo de energía a la cubierta y al sustrato.

Los rayos viajan a través de la película a la misma velocidad.$c/n_{f}$pero siguen caminos diferentes, por lo que tardarán diferentes tiempos en avanzar 1 km en la guía de ondas. Entonces podríamos tratar de encontrar las componentes de estas velocidades en la dirección de propagación ($z$eje),$v_{i}$, y usamos la relación simple$t_{i}=d/v_{i}$. El problema con esto es que el problema no especifica el ángulo en el que el modo no guiado incide en las superficies de la película. ¿Me estoy perdiendo de algo?

Por otro lado, la apertura numérica de la guía de ondas es:

$$n\sin \left( {{\theta _{\max }}} \right) = {n_f}\sin \left( {90 - {\theta _{\rm{c}}}} \right) = {n_f}\cos \left( {{\theta _{\rm{c}}}} \right)$$

donde n=1, y$\theta_{\max}$es el ángulo de incidencia del haz de iluminación con la normal a la$x-y$plano de modo que haciendo un trabajo encontramos:

$${\rm{AN}} = \sin \left( {{\theta _{\max }}} \right) = \sqrt {{n_f}^2 - {n_s}^2}$$

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ACTUALIZACIÓN: Algunos cálculos:

Los índices de refracción efectivos de los 3 rayos (rayo 1: modo guiado, rayo 2: modo de radiación, rayo 3: sin reflexión) son:

$${N_1} = \frac{{{\beta _1}}}{{{k_1}}} = \frac{c}{{{V_1}}} = {n_f}\sin \left( {{\theta _{\rm{c}}}} \right)$$ $${N_2} = \frac{{{\beta _2}}}{{{k_2}}} = \frac{c}{{{V_2}}} = {n_f}\sin \left( \theta \right)$$ $${N_3} = {n_f} = \frac{c}{{{v_3}}}$$

De modo que los retrasos serían: ($d=1km$)

Entre los rayos 1 y 2:

$$\Delta {t_{1 - 2}} = {t_2} - {t_1} = d\left( {\frac{1}{{{V_2}}} - \frac{1}{{{V_1}}}} \right) = \left[ {...} \right] = \left( {d\frac{{{n_f}}}{c}} \right)\left( {\sin {\theta _c} - \sin \theta } \right)$$

Entre los rayos 1 y 3:

$$\Delta {t_{1 - 3}} = {t_3} - {t_1} = d\left( {\frac{1}{{{v_3}}} - \frac{1}{{{V_1}}}} \right) = \left[ {...} \right] = \left( {d\frac{{{n_f}}}{c}} \right)\left( {\sin {\theta _c} - 1} \right)$$

Y los respectivos anchos de banda base:

$${\rm{A}}{{\rm{B}}_{1 - 2}} = \frac{{\frac{c}{{d{n_f}}}}}{{{\rm{AN}} - \sin \theta }}$$

$${\rm{A}}{{\rm{B}}_{1 - 3}} = \frac{{\frac{c}{{d{n_f}}}}}{{{\rm{AN}} - 1}}$$

¿Alguno de estos resultados es igual a la ecuación dada al principio para$AB$? ¿Cómo se usaría la aproximación$n_{f}-n_{s}<<1$?