Alambre infinito, vector potencial

Question

Alambre infinito, vector potencial

Luka8281

Si quiero calcular el potencial del vector magnético $\vec{A}$ de un alambre infinito usando la fórmula

A (r) = \frac{m_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'}) d r^{' 3}}{| r - r^{'} |}

$A(\textbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\space \int \frac{\textbf j(\textbf r')\space d\textbf r'^3}{|\textbf r-\textbf r'|}$ A una distancia

a

$a$ del cable obtengo una integral que no converge:

A (| r | = a) = \frac{m_{0} I}{4 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d y}{\sqrt{(X + a)^{2} + y^{2}}}

$A(| \textbf{r}|=a)=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dy}{\sqrt{(x+a)^2+y^2}}$ .

Pregunta: ¿Es esto una consecuencia del hecho de que $\nabla\space \textbf j=0$ , debido a la conservación de la carga, y un alambre infinito no conservaría la carga, ya que ambos extremos nunca se encuentran para formar un "bucle"?

Respuestas (1)

Alambre infinito, vector potencial

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

La divergencia es consecuencia del hecho de que el potencial vectorial es una especie de "energía", al igual que el potencial escalar; es una cantidad extensiva y escala con el volumen del sistema.

La energía de algo que es constante e infinito es (normalmente) divergente. En términos generales, estamos en una situación en la que

A = ρ_{0} L + finito

$A=\rho_0 L+\text{finite}$ dónde

ρ_{0}

$\rho_0$ es una cierta constante y

L

$L$ es la longitud del alambre, que es formalmente infinita. Este término, en situaciones más complejas, a veces se denomina energía de punto cero : un cambio constante en la energía que no se puede medir y no afecta las predicciones físicas.

Por otro lado, el campo magnético $\boldsymbol B$ es la derivada de $\boldsymbol A$ con respecto a $a$ , que es finito, porque el $\rho_0 L$ término no depende de $a$ (su derivado se desvanece). El campo magnético es finito, como debe ser: este objeto es medible, a diferencia de $\boldsymbol A$ .

La misma situación aparece cuando se considera una lámina infinita de carga: allí el campo eléctrico es finito, pero el potencial escalar diverge:

ϕ = ρ_{0} S + finito

$\phi=\rho_0 S+\text{finite}$ dónde

S

$S$ es el área de la lámina, formalmente infinita

S \to \infty

$S\to\infty$ . Nuevamente, esto es una consecuencia del hecho de que el potencial es una magnitud extensiva y escala con el volumen del espacio.

Algún día aprenderás QFT y todas estas ideas resultarán esenciales en nuestra comprensión de la Naturaleza.

Debo decir que no estoy completamente convencido de mi respuesta. Tendré que pensarlo y quizás haga algunos cambios más adelante.

Alambre infinito, vector potencial

Luka8281

Respuestas (1)

AccidentalFourierTransformar

AccidentalFourierTransformar

Luka8281

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