Al escribir una ecuación diferencial, ¿cuándo tomas +dx+dx+\text{d}x y cuándo tomas −dx−dx-\text{d}x?

El$dx$en realidad es un vector$d\vec{x}$(porque$\vec{x}$es en realidad un vector). El signo de un vector depende de sus ejes de coordenadas, por ejemplo, si elige la derecha para que sea positiva, los vectores que apuntan hacia la izquierda son negativos.

En general, el trabajo realizado$W$es dado por

$$W = \int \vec{F} \cdot d\vec{x} = \int Fdx \cos(\theta)$$ dónde $\theta$es el ángulo entre $\vec{F}$y $d\vec{x}$.

Trabajo realizado en el resorte:

En ambos casos$\vec{F}$y$d\vec{x}$apuntan en la misma dirección, por lo que el ángulo entre ellos$\theta = 0$. Por lo tanto$\cos(\theta) = \cos(0) = 1$, y el trabajo es positivo. Alternativamente, puede descomponer$\vec{F}$y$d\vec{x}$en sus componentes, que para la compresión se parece a:

$$\vec{F} = F (-\hat x) + 0 \hat y \quad \text{and} \quad d\vec{x} = dx (-\hat x) + 0 \hat y$$ Y luego realiza el producto escalar $$\vec{F} \cdot d\vec{x} = Fdx \ (-\hat x) \cdot (-\hat x) = Fdx \ \hat x \cdot \hat x = Fdx$$ Si el resorte obedece la ley de Hooke, entonces puedes enchufar $F = kx$e integrar a $W = \frac{1}{2} kx^2$.

Trabajo realizado por el resorte:

Ahora el ángulo entre$\vec{F}$y$d\vec{x}$es$\theta = 180 ^\circ$, entonces$\cos(\theta) = -1$y el trabajo es negativo. Nuevamente con descomposición de componentes para el escenario de compresión.

$$\vec{F} = F (\hat x) + 0 \hat y \quad \text{and} \quad d\vec{x} = dx (-\hat x) + 0 \hat y$$ y realiza el producto escalar $$\vec{F} \cdot d\vec{x} = Fdx \ (-\hat x) \cdot (\hat x) = -Fdx \ \hat x \cdot \hat x = -Fdx$$ Así que el trabajo realizado por la primavera $W = -\frac{1}{2}kx^2$.

Puede obtener una señal incorrecta debido a$cos(0)= 1$y$cos(\pi)= -1$. O tomas$x$como una coordenada cartesiana e integre sobre ella o use coordenadas polares con un alargamiento máximo$x$que es constante. En tu pregunta estás mezclando ambos.

El signo convencional aquí es$-$, sin embargo, depende de su forma de contar el trabajo, es decir, el trabajo realizado para o por el sistema.

Todo depende de la dirección que asigne mientras usa$dx$. Generalmente es un vector, por lo que el signo se ajustará automáticamente según la operación utilizada y su dirección en relación con otros vectores operandos.

En su caso, está calculando el trabajo realizado por el resorte . La fuerza debida a un resorte siempre se dirige a su posición media. Con esto en mente, ahora considere los casos que ha tomado (tenga en cuenta que$dx$el vector se toma a lo largo de la dirección de elongación o compresión en el resorte):

Caso 1: elongación. el vector de desplazamiento se aleja de la posición media. Entonces el trabajo realizado es$kx.dxcos\pi$. Si integras esto de$x_1$a$x_2$(la magnitud del alargamiento inicial y final respectivamente), el resorte realiza el trabajo como$-(\frac{1}{2}kx_2^2-\frac{1}{2}kx_1^2)$.

Caso 2: las direcciones de los vectores se intercambian, por lo que el ángulo entre ellos es nuevamente$\pi$Cuando integres, ten en cuenta que$x_1$y$x_2$son las magnitudes de compresión inicial y final respectivamente, por lo que siempre son cantidades positivas. El resultado final será el mismo que en el Caso 1.

Nota: si estuvieras calculando el trabajo realizado por la fuerza que deforma el resorte, la respuesta habría sido positiva.

El concepto básico es configurar un sistema de coordenadas, Cartesiano sería bueno aquí

Aquí, estoy calculando el trabajo realizado POR el resorte

el origen es el punto donde el resorte está en posición natural (para que usemos F = -Kx, de lo contrario, también contendría alguna constante, por ejemplo, si la longitud natural de nuestro resorte está en (2,5) y el resorte solo se mueve a lo largo dirección del eje x, entonces F = - K (x-2) )

Si te mueves en la dirección x positiva asignada, el cambio es +ve y dx es +ve, cuando nos movemos en la dirección opuesta es negativo, pero eso no debería ser un problema en ningún caso, dx es una variable con signo, no algo que solo puede mantener +ve valores, (En la integración, si invertimos los límites, el resultado cambia de signo, por lo tanto, ya tenemos un producto escalar en la función de integración misma), por lo tanto, la integración simple de F.dx de x1 a x2 dará la respuesta, donde todos las distancias deben ser desde el origen con signo

También podríamos calcular el trabajo tomando todo lo positivo y realizando el producto punto vectorial adecuado, pero en problemas complejos, se quedará rascándose la cabeza y hay una razón por la que los sistemas de coordenadas están en todos los campos imaginables.