¿Aceleración horizontal y vertical de una pelota en una pendiente?

Si la velocidad en la parte inferior de la pendiente es todo lo que desea, entonces el método de energía en las respuestas de Gert y el Dr. Xorille es una forma elegante y fácil de lograrlo. Sin embargo, parece estar enredado con la resolución de vectores.

Al trabajar con vectores, debe establecer un sistema de coordenadas y ceñirse a él hasta el final. Si tiene que configurar más de uno y, lo que es peor, tiene que cambiar entre ellos con frecuencia (como es en su caso), asegúrese de que cada componente de un vector (en su caso, el vector de gravedad$g$) se expresa en el mismo sistema de coordenadas.

En su ejemplo, hay dos sistemas de coordenadas: sistema XY en el que la dirección X es paralela al suelo y la dirección Y es perpendicular al suelo y hacia abajo; Sistema PQ en el que la dirección P es paralela a la pendiente y la dirección Q es perpendicular a la pendiente.

En el vector de gravedad del sistema XY$\textbf{g}\equiv(0,g)$mientras que en el sistema PQ$\textbf{g}\equiv(g\sin \theta,g\cos\theta)$. Ahora puede resolver el problema en cualquiera de los dos sistemas de coordenadas de su elección.

Lo que has hecho es, has calculado$\textbf{g}$Los componentes son paralelos y perpendiculares a la pendiente (es decir, en el sistema PQ), pero por alguna razón desea volver al sistema XY. Eso está bien, pero entonces tú$\textit{must}$tomar ambos componentes de$\textbf{g}$en el sistema PQ y reexpresarlos en el sistema XY. Por lo tanto, no debe omitir la componente normal a la pendiente, porque ambas componentes, paralela y perpendicular a la pendiente, juntas forman el vector de gravedad.$\textbf{g}$. Aunque hacer esto simplemente lo regresará a los componentes de$\textbf{g}$en el sistema XY a saber.$(0,g)$y no veo el punto de todo esto; si quisiera permanecer en el sistema XY, podría haberlo hecho desde el principio.

Una vez que conoce los componentes de$\textbf{g}$en el sistema XY, ahora puede calcular la velocidad en cualquier otro instante haciendo uso de las leyes habituales del movimiento.

Otra forma de hacer esto es considerar la energía (ya que no parece estar perdiendo energía en ninguna parte, por ejemplo, con la fricción).

Tienes una velocidad inicial (quizás 0) que corresponde a una energía cinética y una energía potencial (que es$mgh$). Luego, la energía potencial se convierte en energía cinética, y simplemente puedes calcularlo a partir de ahí.

Un punto importante, que @Gert también insinuó, es que rodar es muy diferente de deslizarse. Al rodar, tiene energía cinética asociada con la velocidad promedio y energía cinética asociada con la rotación. La energía de rotación requiere el momento de inercia. Si la pelota rueda sin resbalar, entonces la energía de rotación estará relacionada con la velocidad.

Suponga que la pelota se desliza por la pendiente sin fricción y que parte del estado estacionario ($v=0$) a una altura sobre la horizontal$h$.

Durante el deslizamiento sin fricción, la energía potencial del objeto$mgh$se convierte en energía cinética$\frac{mv^2}{2}$, de modo que:

$mgh=\frac{mv^2}{2}$y:

$v=\sqrt{2mgh}$.

Este vector de velocidad, por supuesto, está orientado paralelo a la pendiente. La componente horizontal de$v$, decir$v_x$, es:

$v_x=\cos(x) v$.

Mientras que el componente vertical, digamos$v_y$, es:

$v_y=\sin(x) v$.