¿Cómo puede derivarse la indeterminación en la mecánica cuántica de la falta de capacidad para observar una causa?

La razón de este aparente salto es que los principios del positivismo lógico, que es la filosofía fundacional de Heisenberg, Bohr y todos los físicos en realidad. Esto establece que si una pregunta no puede ser respondida ni siquiera en principio por algún tipo de experimento, entonces no es una pregunta válida, la pregunta es solo un galimatías.

Considere la siguiente pregunta:

• En un átomo de hidrógeno en su estado fundamental, ¿dónde está el electrón en su órbita?

Superficialmente, parece sensato, ¿no?

Pero, ¿cómo formularías un experimento para determinar la respuesta? Ahora no está tan claro. Suponga que ilumina el electrón para tratar de averiguar dónde está, luego excita el átomo, ya no está en su estado fundamental. Suponga que hace brillar una luz de longitud de onda muy baja, para no excitar el átomo. Entonces la luz se dispersa del átomo como un todo y es inútil para responder la pregunta.

Si intenta utilizar rayos X duros para localizar el electrón con precisión, ioniza el átomo. Entonces, esta pregunta es imposible de responder mediante un experimento, y ahora no parece tan sensato. Es un acto válido de positivismo afirmar que esta pregunta es, de hecho, sin sentido. El electrón no tiene posición cuando el átomo está en su estado fundamental.

Pero digamos que ignoras el positivismo y supones que el electrón tiene una posición secreta que varía en el tiempo, como solía hacer Bohr. Podría creer que la órbita es periódica, por lo que la transformada de Fourier de la órbita tiene múltiplos enteros de una frecuencia determinada. La frecuencia observada de la luz emitida por un objeto clásico en movimiento es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental, el período orbital inverso. Entonces esperas que la luz emitida por el átomo venga en múltiplos del período orbital.

Pero las transiciones atómicas tienen frecuencias que no son múltiplos enteros de nada. Entonces no pueden ser la descripción de una trayectoria periódica clásica. Pero corresponden a estas trayectorias periódicas cuando el número cuántico es grande, cuando el electrón orbita lejos del protón. Esto fue entendido por Bohr.

Pero para Pauli y Heisenberg, que eran más radicalmente positivistas (al principio, Bohr fue el más positivista de todos más adelante), la dificultad de encontrar un procedimiento eficaz les llevó a renunciar por completo a la cuestión. Rechazaron la idea de que el electrón tuviera una posición por determinar. Luego, Heisenberg desarrolló una teoría matemática detallada de las transiciones entre diferentes niveles atómicos, y esta teoría pudo responder preguntas de la forma "si ilumino el átomo en el estado fundamental, ¿qué intensidades espectrales salen?" Pero esta teoría no pudo responder a la pregunta "dónde está el electrón", porque no tenía una variable de posición del electrón que formara una órbita clásica aguda.

La perspectiva moderna es sólo una elaboración de esta posición. la función de onda describe la probabilidad de que un experimento de medición de posición encuentre una respuesta dada, o la probabilidad de obtener la respuesta a una medición de energía. No representa la posición de un electrón, o cualquier otra cantidad clásica.

La razón por la que la gente cree que no hay cantidades clásicas fundamentales que evolucionen de forma determinista es por la posición lógica positivista de que no podían definirlas operativamente. El positivismo lógico cayó en desgracia en la década de 1970, por razones estúpidas, por lo que ya no es una posición destacada defendida en los círculos intelectuales humanistas. Esto es muy triste para la mayoría de los físicos, que son tan positivistas como siempre, especialmente considerando la teoría de cuerdas, la holografía y la resolución positivista del rompecabezas de la pérdida de información.

No hay indeterminación en QM. Los principios son:

• Los Estados$|\psi\rangle$vivir en el espacio de Hilbert.
• Las medidas están representadas por operadores hermitianos.$O$.
• QM solo da respuestas a las preguntas que se pueden plantear utilizando una ecuación de valores propios para un operador hermitiano. si uno tiene$O|\psi\rangle=\lambda|\psi\rangle$entonces el estado$|\psi\rangle$tiene la propiedad representada por$O$con valor agudo$\lambda$. Esto es todo lo que QM nos dice y tenemos que enmarcar todas nuestras preguntas sobre el mundo en este lenguaje conciso.

Estos principios no dicen nada acerca de la indeterminación, la probabilidad o el colapso. La regla de Born para probabilidades aparece de la siguiente manera.

Considere un sistema de espín 1/2 en un estado$|\psi\rangle=\alpha|+\rangle+\beta|-\rangle$. Montar un conjunto de$N$copias del sistema. El conjunto está descrito por un estado tensorado con$N$factores,

$$\begin{eqnarray*} |\Psi\rangle&=&(\alpha|+\rangle+\beta|-\rangle)\otimes\ldots \otimes(\alpha|+\rangle+\beta|-\rangle)\\ &=&\sum_{k=0}^{N}\alpha^{N-k}\beta^{k}(|+\ldots-\ldots\rangle+\ldots) \end{eqnarray*}$$ El soporte tiene $^{N}C_{k}$afirma cada uno con $N-k$etiquetas "+" y $k$Etiquetas "-" en varios arreglos. Esta combinación simétrica de $^{N}C_{k}$estados es un giro $s=N/2$estado propio con $J_{z}$valor propio $m=N/2-k$. Con la normalización correcta, el estado tensorial del conjunto es, $$\begin{eqnarray*} |\Psi\rangle=\sum_{k=0}^{N}\alpha^{N-k}\beta^{k} \sqrt{^{N}C_{k}}|s=N/2,m=N/2-k\rangle \ . \end{eqnarray*}$$ Ahora configure un operador hermitiano $\frac{N_{+}}{N}$que cuenta la fracción de $+$estados La acción del operador es, $$\begin{eqnarray*} \frac{N_{+}}{N}|s=N/2,m=N/2-k\rangle=\frac{N-k}{N}|s=N/2,m=N/2-k\rangle \end{eqnarray*}$$ El estado $|\Psi\rangle$no es un estado propio de $\frac{N_{+}}{N}$para finito $N$entonces QM no puede decir nada claro sobre la fracción de estados "+" en el conjunto. Sin embargo, como $N\rightarrow\infty$las amplitudes alcanzan su punto máximo alrededor de un solo estado de espín. Para encontrar el valor de $k$en el que la amplitud alcanza su punto máximo, se resuelve, $$\begin{eqnarray*} 0=\frac{\partial}{\partial k}\frac{|\alpha|^{2(N-k)}|\beta|^{2k}N!}{(N-k)!k!} \end{eqnarray*}$$ y usando la aproximación de Stirling, la solución para $k$en la amplitud máxima es, $$\begin{equation} \frac{N-k}{k}=\frac{|\alpha|^{2}}{|\beta|^{2}} \end{equation}$$ Entonces, para un conjunto infinito, $$\lim_{N\rightarrow\infty}|\Psi\rangle=\alpha^{N-k}\beta^{k} \sqrt{^{N}C_{k}}|s=N/2,m=N/2-k\rangle$$ con $k$dada por la solución del pico. El conjunto infinito es un estado propio del operador $\frac{N_{+}}{N}$, $$\frac{N_{+}}{N}|\Psi\rangle=\frac{N-k}{N}|\Psi\rangle$$ y reemplazando el pico $k$, el valor propio es $(N-k)/N=|\alpha|^{2}$. Entonces, el estado tensorial para el conjunto infinito es un estado propio del operador $\frac{N_{+}}{N}$que cuenta la fracción de estados "+" y el valor propio es $|\alpha|^{2}$. Esto significa que QM puede dar una respuesta precisa a la pregunta sobre la fracción de estados "+" en el conjunto; es $|\alpha|^{2}$que es exactamente lo mismo que la regla de Born para las probabilidades. Este cálculo muestra,

• No hay nada probabilístico o indeterminista en QM.
• QM no tiene nada que decir sobre el sistema único$\alpha|+\rangle+\beta|-\rangle$.
• QM solo dice algo agudo sobre un conjunto infinito de sistemas.

La derivación de la regla Born en esta respuesta se describe en la conferencia http://pirsa.org/10080035 .

Editar para responder a Bruce Greetham.

Bruce Greetham sugiere que al eliminar la regla Born como un axioma, me veo obligado a tomar la posición de muchos mundos de Everett.

Considere un sistema de giro 1/2$|\psi\rangle=\alpha |+\rangle +\beta |-\rangle$. Hagámosle a QM la pregunta aguda "¿Está el sistema en el estado +?". El operador hermitiano que hace esta pregunta es$\hat{O}(\text{'is it +?'})=|+\rangle\langle+|$porque$\hat{O}(\text{'is it +?'})|+\rangle=|+\rangle$y$\hat{O}(\text{'is it +?'})|-\rangle=0$. El sistema$|\psi\rangle=\alpha |+\rangle +\beta |-\rangle$no es un estado propio de$\hat{O}(\text{'is it +?'})$entonces$|\psi\rangle$no está en el$|+\rangle$estado.

Ahora haga la pregunta aguda "¿Está el sistema en el estado + o en el estado -?". El operador que hace esta pregunta es$\hat{O}(\text{'is it +?'})+\hat{O}(\text{'is it -?'})=|+\rangle\langle+|+|-\rangle\langle -|$. Este operador es el operador de identidad.$1$y el estado$|\psi\rangle$es un estado propio de este operador con valor propio 1. En otras palabras, QM está diciendo que$|\psi\rangle$es + o - lo que, me veo obligado a admitir, sugiere que el mundo se ha ramificado. Esta es una posición intelectualmente incómoda para estar, y en su mayoría trato de no pensar en ello y concentrarme en comprender más sobre las representaciones grupales y QFT.

¿Cómo puede esto mostrar que mientras no estás observando las partículas, se comportan de manera indeterminista y esa es una característica de la naturaleza?

¿Qué te hace formular esta pregunta de esa manera?

Si conoce la configuración inicial completa, así como el hamiltoniano (operador de energía) del sistema, entonces, de acuerdo con la mecánica cuántica, puede determinar la evolución temporal del sistema. En este sentido es posible saberlo. En principio, es posible calcular y conocer la función de onda de propagación para tiempos posteriores y, por lo tanto, puede predecir un valor esperado para cada tiempo, ni más ni menos. En momentos posteriores podemos decidir hacer una medición. Y el hecho de que las probabilidades medidas resulten estar de acuerdo con lo que esa teoría (la que se construye alrededor de esa función de onda) sugiere que estamos tramando algo.

Sin embargo, el propósito de la función de onda es "solo" ser la herramienta para predecir qué sucede si realmente hay interacción con el sistema. Entonces, el trasfondo de su pregunta es de naturaleza ontológica/epistemológica. ¿Qué significa saber algo que está más allá de la medida? Tal vez cada tres segundos durante su propagación imperturbable, la función de onda se convierte en un elefante bebedor de té rosa, inicia sesión en StackExchange Physics con la cuenta de usuario de alguien y responde preguntas sobre mecánica cuántica, y luego vuelve a convertirse en una función de onda como si nada hubiera pasado. Sin embargo, esa no es una teoría muy útil.

Hay dos aspectos diferentes en la pregunta:

• ¿Podemos predecir, al menos en principio, el resultado de cualquier experimento?
• ¿Es la naturaleza realmente indeterminista?

La primera pregunta es física: podemos responderla con experimentos. Esto puede ser una sorpresa, porque los experimentos siempre vienen con errores experimentales, pero el punto es que los experimentos nunca prueban algo de todos modos, pero apoyan o rechazan una teoría. Y todos los experimentos respaldan la mecánica cuántica, donde no podemos decir, ni siquiera en principio, qué resultado obtendremos. Tenga en cuenta que esto es cierto incluso para aquellas interpretaciones de la mecánica cuántica que son fundamentalmente deterministas (como la mecánica de Bohm), porque no podemos, ni siquiera en principio, acceder al estado completo (es por eso que tales teorías se llaman "teorías de variables ocultas", porque hay algunos aspectos del estado a los que no podemos acceder, es decir, están "ocultos".

La segunda es en gran parte filosófica. Para un positivista, el hecho de que experimentalmente no puedas predecir el resultado ya te dice que la naturaleza es indeterminista. Sin embargo, el positivismo es una posición filosófica que no se puede probar experimentalmente (es decir, no es parte de la física; esto, por supuesto, no significa que un físico no pueda ser positivista, pero significa que un físico que aboga por el positivismo está actuando fuera de su campo). ― tenga en cuenta, sin embargo, que hay una línea muy fina entre lo que podría llamarse "positivismo práctico", que se niega a decir nada sobre lo que no podemos medir, porque estaría fuera del contexto de la física, y el positivismo real , que afirma que no hay nada más que lo que nosotros puede observar).

Para un realista, la mecánica cuántica estándar no es satisfactoria porque cualquiera de los dos asume que la función de onda es real, pero entonces el colapso de la función de onda también sería real, pero esto daría un estatus especial a las observaciones y, por lo tanto, a la conciencia, que la mayoría la gente no cree en la actualidad (y la gente que cree suele estar más en el campo esotérico que en el científico). Por lo tanto, los realistas buscan explicaciones que vayan, de un modo u otro, más allá de la mecánica cuántica estándar. Sin embargo, hay un problema con esto: Localidad. Se puede demostrar (¡experimentalmente!) que la mecánica cuántica no es local (al menos bajo la suposición de "un mundo", una de las razones por las que la interpretación de muchos mundos es popular para algunas personas), pero la no localidad está en desacuerdo con la Relatividad, porque este último niega una simultaneidad absoluta. En breve,

Ahora, sobre el tema del determinismo, en el campo realista hay interpretaciones tanto deterministas como indeterministas de la mecánica cuántica. Los deterministas se pueden agrupar en dos categorías en su explicación de por qué observamos el indeterminismo:

• Variables ocultas: Aquí el indeterminismo es la clásica falta de conocimiento (combinado con la incapacidad para obtener el conocimiento, incluso en principio). Sin embargo, esto tiene el costo de la no localidad física (es decir, las verdaderas interacciones físicas van infinitamente rápido en distancias arbitrarias).
• Interpretaciones de Everett (variaciones de muchos mundos): aquí, el indeterminismo es el resultado de "dividir mundos" donde solo observamos "nuestro" mundo. El resultado no es predecible porque ocurren todos los resultados posibles, pero cada resultado viene con otra copia de "usted" que observa solo ese resultado.

Si no acepta la no localidad física ni muchos mundos, tiene que aceptar el indeterminismo fundamental.