¿Por qué los electrones tienen que caer sobre el núcleo en el modelo atómico de Rutherford?

Bueno, no veo ningún problema en ninguna de esas respuestas aquí, pero, ya que quieres en términos de fuerza... vamos.

La fuerza de Lorentz es:

$$\mathbf F = q(\mathbf E + \mathbf v\times\mathbf B)$$

Supongamos el agradable y simple átomo de hidrógeno. Un solo electrón lo orbita clásicamente. Digamos que no hay campo magnético. Solo eléctrico. El campo eléctrico es un campo central, lo que significa que apunta solo radialmente, lo que significa que dará como resultado una órbita. Y más: Es una órbita kepler (la misma de los planetas).

$$\mathbf F = q\mathbf E$$

Pero entonces, el electrón cuando es acelerado irradia energía electromagnética. Debe aplicarse la conservación de la energía, de modo que la irradiación le quite la energía al electrón. El electrón pierde entonces su energía. La energía es proporcional al impulso (energía cinética). Por lo tanto, el electrón pierde impulso. Cambiar el impulso es fuerza. Si tomamos la fórmula de Larmor y hacemos este proceso, llegaremos a la fuerza de Abraham-Lorentz .

Ahora la fuerza completa de esto es:

$$\mathbf F = \frac{d\mathbf p}{dt} = m\frac{d^2\mathbf r}{dt} = q\mathbf E(\mathbf r) + \frac{\mu_0 q^2}{6\pi c}\frac{d^3\mathbf r}{dt^3}$$

Tenga en cuenta que, para una órbita circular en el plano xy:$\mathbf r = r(\cos\omega t, \sin\omega t, 0)$, y por lo tanto:

$$\omega^2\mathbf r = -\frac{d^2\mathbf r}{dt^2} \quad\Longrightarrow\quad \omega^2\frac{d\mathbf r}{dt} = -\frac{d^3\mathbf r}{dt^3} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf F = q\mathbf E - \frac{\mu_0 q^2}{6\pi c}\omega^2\mathbf v$$

Es decir, la derivada de tercer orden tiene relación con la velocidad. Y no solo eso: tiene un signo menos allí, que indica una fuerza de arrastre: una fuerza siempre opuesta a la velocidad, y por lo tanto tenderá a detener el movimiento. Entonces, un electrón que orbita alrededor de un protón sin un campo magnético presente, se arrastrará debido a esta fuerza, entrará en espiral y colapsará en el protón.

Excelente pregunta, que rara vez se aborda en las introducciones a la mecánica cuántica. Las ecuaciones de Maxwell muestran claramente que el electrón en un átomo de Rutherford clásico irradiaría campos EM con una potencia total dada por la fórmula de Larmor. Pero de ello no se sigue inmediatamente que esta radiación haría que el electrón entrara en espiral hacia el núcleo.

Para eso, debe postular por separado una fuerza de reacción de radiación (a menudo, pero no siempre, se supone que toma la forma de la fuerza de Abraham-Lorentz-Dirac) que complementa la fuerza de Lorentz habitual. No existe una forma universalmente acordada de hacer esto, o incluso un consenso entre los físicos sobre si es necesario hacerlo. Hay diferentes versiones de la teoría de la EM clásica que manejan la reacción de radiación de diferentes maneras, cada una de las cuales tiene pros y contras (algo subjetivos). No existe una única forma "correcta" de hacerlo, porque la EM clásica es solo una teoría aproximada que no puede capturar completamente la naturaleza (en última instancia, cuántica) de la realidad física en escalas de longitud diminutas.

(A menudo se afirma que la conservación de la energía requiere lógicamente que la ley de fuerza de Lorentz se complemente con una fuerza de reacción de radiación para mantener la consistencia interna, pero esto no es realmente cierto. Dado que la energía propia de una partícula puntual es formalmente infinita, en realidad es matemáticamente autoconsistente, aunque quizás subjetivamente desagradable, que una partícula cargada irradie para siempre sin cambiar su trayectoria, porque estrictamente hablando, tiene una reserva ilimitada de energía potencial para tomar prestada).

Así que en realidad es una simplificación excesiva decir que la radiación emitida por el electrón de un átomo de Rutherford clásico necesariamente hace que caiga hacia el interior del núcleo. Si eso es cierto o no depende de su elección del mecanismo de reacción de radiación postulado, para el cual no existe una forma canónica única.