¿Por qué el electrón no puede entrar en el núcleo?

El electrón es atraído por el núcleo. En el modelo de Bohr se decía que el electrón gira alrededor del núcleo y la fuerza centrífuga compensa la atracción nuclear. Pero el modelo de Bohr está desactualizado. El electrón es una partícula cuántica en un campo electrostático, y su comportamiento está dictado por la ecuación de Schrödinger y, en última instancia, por la función de onda, vea la imagen.

Como puede ver en la columna del lado izquierdo de la imagen, en el estado$n=1$, es decir, en la capa interna de electrones, el electrón tiene una probabilidad distinta de cero y no despreciable de encontrarse en la posición del núcleo; consulte la región brillante más interna. Además, se conoce el fenómeno de la captura de electrones por un núcleo, ver aquí .

"La captura de electrones es un proceso en el que un nucleido rico en protones absorbe un electrón atómico interno, cambiando así un protón nuclear a un neutrón y provocando simultáneamente la emisión de un neutrino electrónico. Siguen varias emisiones de fotones, a medida que la energía del átomo cae a el estado fundamental del nuevo nucleido".

Pero la mayor probabilidad es que el electrón esté fuera del núcleo. El radio de la nube de electrones es$10^{-8}$cm, y el radio del núcleo es cca.$10^{-12}$cm.

La distribución de probabilidad para encontrar el electrón de un átomo de hidrógeno en estado fundamental en algún volumen está dada por$dP = |\psi|^2 d^3x$, donde la función de onda$\psi$ es dado por

$$\psi_{n\ell m} = \psi_{000} = \frac1{\sqrt{4\pi}}\frac2{a_0^{3/2}}e^{-r/a_0}$$ dónde $a_0 \approx \frac12\times10^{-10}\rm\,m$es el radio de Bohr . Esta es la primera de las funciones de onda trazadas por Sofia arriba.

El radio del núcleo es, caritativamente,$r_n \approx \frac32\times10^{-15}\rm\,m$, unos cinco órdenes de magnitud menor.

Calculamos la probabilidad de encontrar el electrón en el núcleo haciendo la integral sobre el volumen nuclear,

$$P = 4\pi\int_{r=0}^{r_n}r^2 dr |\psi|^2 \approx \frac43\left( \frac{r_n}{a_0} \right)^3$$ lo que da aproximadamente $10\times10^{-15}$, con la mayor parte de la incertidumbre proveniente de mi conjetura para $r_n$. Entonces, si tuviera un gramo de átomos de hidrógeno, aproximadamente diez femtogramos de ellos tienen el electrón superpuesto al núcleo en cualquier instante.

El caso es que el electrón ocupa todo el volumen del átomo, mientras que el núcleo es asombrosamente más pequeño. Si no tuviéramos la captura de electrones , no hablaríamos en absoluto de que los electrones pasan tiempo dentro del núcleo.

La razón es que no existe una fuerza conocida que sea lo suficientemente fuerte como para mantenerlo allí. Los electrones son partículas cuánticas que tienen una masa muy pequeña. Pero podemos mostrar cómo los cálculos de orden de magnitud utilizando una cantidad mínima de mecánica cuántica (el principio de incertidumbre de posición-momento) y principios de energía mecánica conducen a resultados de orden de magnitud correctos para el átomo de hidrógeno en su estado fundamental. Considere un electrón en el campo de culombio de un protón, que se supone está estacionario en el origen del sistema de coordenadas. Si las dos partículas están separadas por una distancia$r$, la energía potencial del electrón es

$V(r) = \frac{-q^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}$

dónde$q$es su carga eléctrica, exactamente opuesta a la carga del protón. Colocar

$\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0} = e^2$

Suponga que el estado del electrón se describe mediante una función de onda esféricamente simétrica cuya extensión espacial se caracteriza por$r_0$. La energía potencial correspondiente a este estado es entonces del orden de

$\bar V \simeq \frac{-e^2}{r_0}$

Para que sea lo más bajo posible, es necesario tener$r_0$lo más pequeño posible. Es decir, la función de onda debe estar lo más concentrada posible alrededor del protón. Pero también hay que tener en cuenta la energía cinética. Aquí es donde entra el principio de incertidumbre: si el electrón está confinado dentro de un volumen de dimensión lineal$r_0$, la incertidumbre$\Delta p$en su impulso es al menos del orden de$\frac{\hbar}{r_0}$. En otras palabras, incluso si la cantidad de movimiento promedio es cero, la energía cinética$T$asociado con el estado bajo consideración no es cero:

$\bar T \gtrsim \bar T_{min} = \frac{1}{2m}(\Delta p)^2 \simeq \frac {\hbar^2}{2m(r_0)^2}$

si tomamos$r_0$más pequeño para disminuir la energía potencial, la energía cinética mínima aumenta. La energía total más baja compatible con la relación de incertidumbre es, por tanto, el mínimo de la función:

$E_{min} = \bar T_{min} + \bar V = \frac {\hbar^2}{2m{r_0}^2} - \frac{e^2}{r_0}$

Este mínimo se obtiene para:

$r_0 = a_0 = \frac{\hbar^2}{me^2}$y es igual a:

$E_0 = -\frac{me^4}{2\hbar^2}$

Debido a la relación de incertidumbre, cuanto menor sea la extensión de la función de onda, mayor será la energía cinética del electrón. Se podría decir que la relación de incertidumbre proporciona una flotabilidad que levanta el electrón del protón en el núcleo.

Fuente: Mecánica Cuántica Volumen 1, Cohen-Tannoudji, Diu y Laloe, John Wiley and sons, 1977

Los electrones son como planetas que giran alrededor de un núcleo.

Como la fuerza centrífuga y la fuerza cetripeta tenían las mismas magnitudes.

Cuando la fuerza neta es 0 desde todas las direcciones, la partícula comenzará a girar. Lo mismo sucede con el electrón y comenzará a girar alrededor del núcleo.