Para el TL; DR, vea la parte inferior de esta respuesta.

Bien, antes que nada, el período orbital del gigante gaseoso alrededor de su estrella es$256 \times 24$horas, y me gustaría establecer la distancia del planeta a su estrella. Como no has especificado nada sobre la estrella en sí, me quedo con nuestro Sol por motivos de simplicidad. También por el bien de la simplicidad (o para mantener la cordura de todos, incluida la mía) abordaré esto como dos problemas de dos cuerpos en lugar de un problema de tres cuerpos . Esto reduce la precisión alcanzable, pero simplifica enormemente las matemáticas. Para un gigante gaseoso representativo, usaré Júpiter.

Como aproximación a la órbita del planeta alrededor de su estrella, podemos usar la fórmula para un cuerpo pequeño que gira alrededor de un cuerpo central :

$$r = \sqrt[3]{\frac{\mu T^2}{4 \pi ^2}}$$

dónde:

• $r$es el semieje mayor de la órbita en metros (nota: esto no es lo mismo que la altitud orbital, pero se puede aproximar como el radio orbital )
• $\mu$es el parámetro gravitacional estándar ,$\mu = GM$
  • $G$es la constante gravitacional , en unidades relevantes aquí$6.67408 \times 10^{-11} ~\text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}$
  • $M$es la masa del cuerpo central (en este caso, la estrella) en kg
  • $\mu_\text{Sun} \approx 1.327 \times 10^{20} ~\text{m}^3 ~\text{s}^{-2}$
• $T$es el periodo orbital en segundos

Sabemos que el deseado$T = 256 \times 24 \times 60 \times 60 = 22\,118\,400$segundos. Conectemos todos esos valores y veamos qué sale:

$$r = \sqrt[3]{\frac{1.327 \times 10^{20} \times 22\,118\,400^2}{4 \pi ^2}} \approx \sqrt[3]{1.644442 \times 10^{33}} \approx 1.1803375 \times 10^{11}$$

Así que tu planeta orbita a una distancia de aproximadamente$1.2 \times 10^8$km, o 120 millones de km, a su estrella. Esto es comparable a la órbita de Venus alrededor del Sol (el semieje mayor de Venus es de aproximadamente$1.08 \times 10^8$km, con un período orbital de$224.7 \times 24$horas). Eso está terriblemente cerca de un gigante gaseoso en cualquier cosa que se parezca a nuestro sistema solar, pero es la única forma de obtener el período orbital del planeta que pides mientras mantienes la estrella como el Sol. Podrías girar la perilla para la masa estelar ($M = M_\text{Sun}$, influenciando$\mu_\text{Sun}$arriba) hasta que esté satisfecho con el resultado; para inspirarte, no busques más allá de la lista de Wikipedia de parámetros de ejemplo de estrella de secuencia principal que da la masa de las estrellas en términos de masas solares, a partir de la cual puedes calcular el valor correspondiente para$\mu$.

La longitud de arco de un sector circular está dada por$L = \theta \times r$dónde$\theta$es el ángulo subtendido. Conocemos la longitud aproximada del arco (el diámetro del Sol: el doble de su radio de$695\,700$km) y distancia ($1.2 \times 10^8$km) y queremos el ángulo subtendido, por lo que obtenemos

$$2 \times 695\,700~\text{km} = \theta \times 1.2 \times 10^8~\text{km} \Rightarrow \theta = \frac{2 \times 695\,700}{1.2 \times 10^8} = 0.011595$$

Porque$\theta$sale en radianes, multiplicamos por 57,296° para obtener el ángulo subtendido en grados, que resulta ser 39,86 minutos de arco o 0,664 grados. Una comprobación rápida con Wikipedia da el ángulo del Sol subtendido desde la Tierra (en un radio orbital de$1.5 \times 10^8$km) como 31,6-32,7 minutos de arco, por lo que, aunque posiblemente no sea perfecto, está bien dentro del estadio de béisbol. El mismo cálculo para un radio orbital de$1.5 \times 10^8$km da 31,9 minutos de arco, exactamente en el rango dado.

Ha especificado que el período orbital de la Luna alrededor del gigante gaseoso sea de 192 horas, o$192 \times 3\,600 = 691\,200$segundos. Podemos usar la ecuación vis-viva para calcular el radio orbital correspondiente. Tenemos

$$v^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)$$

Para una órbita circular,$r = a$(el radio orbital es igual al semieje mayor de la órbita) y por lo tanto

$$\left( \frac{2 \pi r}{T} \right)^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{r} \right)$$

Tenemos$\mu_\text{Jupiter} \approx 1.267 \times 10^{17} ~\text{m}^3 ~\text{s}^{-2}$y$T = 691\,200 ~\text{s}$. Reordenando , obtenemos

$$r = \sqrt[3]{\mu \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2} \approx 1\,153\,080 ~\text{km}$$

Entonces, la luna similar a la Tierra orbita al gigante gaseoso en un radio orbital de aproximadamente 1,15 millones de km, porque ese es el radio orbital (para una órbita perfectamente circular, una con excentricidad $e = 0$o semieje mayor igual a semieje menor) que corresponde con el período orbital deseado. Esto resulta ser muy similar al radio de la órbita de Ganímedes (que es de 1,07 millones de km y una excentricidad de aproximadamente 0,0013 en caso de que se lo pregunte), lo que proporciona una buena prueba de cordura para el resultado; Ganímedes orbita Júpiter en 171 horas, solo un poco menos de las 192 horas deseadas, por lo que al menos en una aproximación de primer orden esto se verifica.

La fórmula para calcular la longitud de la umbra (sombra central) de un eclipse es

$$L = \frac{r \times R_o}{R_s - R_o}$$ dónde $r$es la distancia de la estrella al objeto oculto (en nuestro caso, el gigante gaseoso), $R_o$es el radio del objeto oculto, y $R_s$es el radio de la estrella. Así tenemos un cono de sombra de longitud (donde todos los valores de distancia y tamaño están en kilómetros) $$L = \frac{1.2 \times 10^8 \times 71\,492}{695\,700 - 71\,492} \approx \frac{8.58 \times 10^{12}}{624\,208} \approx 13.74 \times 10^6$$

Porque$1.15 \times 10^6 \lt 13.74 \times 10^6$, la luna pasa a través del cono de sombra proyectado por el planeta, por lo que tenemos un eclipse total (la luna pasa a través de la umbra proyectada por el planeta). Ahora bien, ¿cuánto tiempo dura el eclipse?

Al considerar que el cono de sombra es un triángulo con la longitud de la base del diámetro del planeta y la altura calculada anteriormente, podemos usar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la hipotenusa resultante. (Esto resulta ser casi idéntico a la altura, aproximadamente$1.37400 \times 10^7$versus la altura aproximadamente$1.37439 \times 10^7$km.) Entonces podemos aplicar el teorema de la intersección que establece que al dividir un triángulo por una línea paralela a la base del triángulo, la longitud de la nueva línea base es a la línea base original como la hipotenusa de la parte del triángulo es a la longitud total de la hipotenusa. Al aproximar la altura interna requerida como el radio orbital de la luna alrededor del gigante gaseoso, terminamos con

$$\frac{DE}{2 \times 71\,492} = \frac{1\,150\,000}{13\,740\,000} \approx \frac{0.083697}{1}$$ dónde $DE$es la longitud de la línea que conecta los bordes del triángulo en el radio orbital de la luna. Por lo tanto, el camino ocluido para la luna es aproximadamente $\frac{2 \times 71\,492}{0.083697} \approx 1.708 \times 10^6$kilómetros (Esta es realmente la base de un segmento circular donde la luna traza el segmento circular, pero la diferencia es lo suficientemente pequeña como para ser insignificante en estos niveles de precisión).

La circunferencia de un círculo de radio.$1.15 \times 10^6$km es

$$2 \pi r = 2 \pi \times 1.15 \times 10^6 \approx 7.226 \times 10^6 ~\text{km}$$

Así, el paso por la umbra proyectada por el planeta lleva$\frac{1.708 \times 10^6}{7.226 \times 10^6} \approx 0.2364$del periodo orbital de la luna. Multiplicando por el período orbital de 192 horas nos da una duración de 45,4 horas dentro de la zona de eclipse total (la umbra).

Tenga en cuenta que hay tres cosas que en realidad estoy ignorando en los cálculos anteriores. Primero, estoy postulando que todos los cuerpos están orbitando dentro de la eclíptica de su sistema solar ; si sus órbitas están inclinadas entre sí, debe tener en cuenta el ángulo en el que están orbitando (la inclinación). Hacerlo complica un poco las matemáticas sin una ganancia significativa, ya que es probable que los cuerpos que se forman naturalmente dentro de un sistema solar orbiten cerca de la eclíptica. Lo dejo enteramente como un ejercicio para el lector.

Segundo, estoy ignorando el movimiento orbital del planeta alrededor de la estrella. Cuando la luna (similar a la Tierra) está orbitando alrededor del planeta (gigante gaseoso), y el planeta (gigante gaseoso) está orbitando alrededor de la estrella, esto tendrá el efecto de hacer que el eclipse aparente sea un poco más corto o un poco más largo. (Lo que sucede depende de la dirección relativa del movimiento orbital). Soy demasiado perezoso para dar cuenta de esto, así que simplemente no lo hago, pero no debería ser más que algo de trigonometría si realmente te interesa hacerlo. esa parte de las matemáticas usted mismo.

Tercero, estoy ignorando el hecho de que la luna del tamaño de la Tierra va a tirar un poco del planeta. El baricentro del sistema en realidad no estará en el centro del planeta, sino un poco fuera del centro del planeta, lo que hará que los dos se unan en una especie de danza orbital. Esto es muy similar a cómo, en nuestro sistema solar, Júpiter perturba al Sol , a pesar de ser solo$\frac{1}{1\,047}$la masa, o cómo la luna de la Tierra perturba a la Tierra .

TL;RD:

Un conjunto de valores que coinciden con sus criterios son:

• Masa estelar$1.99 \times 10^{30}$kg (1 masa solar) (a elegir)
• Diámetro de la estrella$1\,391\,400$km (1 diámetro solar) (a elección)
• Masa del planeta$1.8986 \times 10^{27}$kg (1 masa de Júpiter) (a elección)
• Diámetro del planeta$142\,984$km (1 diámetro de Júpiter) (a elección)
• Período orbital del planeta alrededor de la estrella$256 \times 86\,400$segundos (por decreto)
• Radio orbital del planeta alrededor de la estrella$1.2 \times 10^8$kilómetros
• Período orbital de la luna alrededor del planeta$192 \times 3\,600$segundos (por decreto)
• Radio orbital de la luna alrededor del planeta$1.15 \times 10^6$kilómetros
• Longitud del eclipse$45.4 \times 3\,600$segundos

Hay muchos otros conjuntos de valores que pueden coincidir con sus criterios. Si no está satisfecho con lo anterior, simplemente elija diferentes valores para las masas y los radios involucrados, y vuelva a calcular; no hay nada mágico en los tamaños del Sol o Júpiter. Simplemente no olvides cambiar el valor de$\mu$¡respectivamente!

Me estoy rascando la cabeza, pero si estoy leyendo esto bien, entonces la respuesta a tu pregunta está en la pregunta. :)

Por lo que puedo decir, solo hay dos respuestas posibles.

Primero, el eclipse duraría 24 horas. Dado que describió que el mundo tiene un día de 24 horas y el octavo día está cubierto por el eclipse, el eclipse debe durar todo el día.

O en segundo lugar, durará 12 horas. Dado que el mundo gira y un lado del planeta sería de noche de todos modos, el eclipse solo necesitaría durar la parte de la luz del día y ese lado del planeta aún estaría en la oscuridad durante las 24 horas. Sin embargo, el lado opuesto ni siquiera habría sabido que había un eclipse de esta manera.

Pero con toda honestidad, dado que puede colocar el planeta prácticamente en cualquier lugar dentro de la órbita del gigante gaseoso y que tiene mucho margen de maniobra en el tamaño del gigante gaseoso, no hay nada que impida que el eclipse dure prácticamente cualquier cantidad de tiempo que desee. ser. Si quieres que el eclipse dure más, entonces el planeta está más cerca del gigante gaseoso. Si quieres que el eclipse sea más corto, el planeta está más lejos del gigante gaseoso.

Aunque es bueno tener en cuenta que si tienes un eclipse largo, el gigante gaseoso también será más grande en tu cielo. Cuanto más corto es el eclipse, más pequeño es el gigante gaseoso en tu cielo.

¡Espero haber ayudado!

Debe tener en cuenta dos efectos, dado que fijó el tamaño de la luna: la velocidad orbital y el tamaño aparente de la luna.

Un eclipse de larga duración lo otorga una luna en órbita lenta, lo que se logra al ubicarla lejos del planeta. Pero colocarlo lejos también hará que parezca más pequeño, por lo que será menos capaz de proteger a la estrella.

Viceversa, si está más cerca del planeta parece más grande, pero también se mueve más rápido en el cielo, acortando la duración del eclipse.

Como no mencionas qué tan lejos está el planeta de la estrella y qué tan grande es la estrella, también puedes jugar con estos dos parámetros adicionales.

Otro problema: la hora del eclipse cambiaría todos los días. La sombra del gigante gaseoso estará en una posición diferente a medida que gira alrededor de la estrella.

Por lo tanto, no obtendría un "día de eclipse" en un horario tan regular.

La única forma en que lo veo funcionando como un "cada 8 días" fijo sería si el gigante gaseoso estuviera bloqueado por mareas en la estrella (¿es eso posible para un gigante gaseoso?) Y la luna estaba lo suficientemente cerca del gigante gaseoso para ser arrastrado por la rotación del gigante gaseoso.

Creo que para lograr esas dos condiciones, el gigante gaseoso tendría que estar tan cerca de la estrella y la luna tan cerca del planeta que la luna estaría muy caliente.